Kẻ BD vuông góc với AE tại D. Chứng minh ba đường thẳng AC, EK, BD đồng quy

a) Ta có tam giác ABC vuông tại C và góc A bằng 60°, suy ra góc B bằng 30°.
Do đó, tia phân giác góc BAC cắt BC tại E nên tam giác ABE cũng là tam giác vuông tại E.
Khi đó, ta có:
∠BAE = 90° - ∠BAC = 90° - 60° = 30°
Và ∠EAK = 90° - ∠BAE = 90° - 30° = 60°
Vậy tam giác AKE cũng là tam giác vuông tại K.
Do đó, ta có AC = AK (vì tam giác AKE đều) và CK = AE (vì tam giác AEC vuông tại E).

b) Ta có AC = AK (đã chứng minh ở câu a).
Vì tam giác ABC vuông tại C và góc A bằng 60° nên ta có:
sin 60° = AC/AB
=> AB = 2AC

Với tam giác ABE vuông tại E, ta có:
EB > AB (theo định lí hình học)
=> EB > 2AC

c) Ta cần chứng minh ba đường thẳng AC, EK, BD đồng quy.
Gọi I là giao điểm của AC và EK.
Ta có:
∠EAI = ∠EAK + ∠KAI = 60° + 30° = 90°
Vậy AI vuông góc với EK tại I.

Gọi J là giao điểm của EK và BD.
Ta có:
∠EJB = 180° - ∠EJA - ∠AJB = 180° - 90° - 90° = 0°
Vậy EJ song song với BD.

Do đó, ta có ba đường thẳng AC, EK, BD đồng quy tại điểm I.