Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và tứ giác nội tiếp.

1) Ta có:
Góc AHE = 90 độ (do AH là đường cao của tam giác ABC)
Góc ACE = 90 độ (do AE vuông góc AC)
Vậy tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp.

2) Ta có:
Góc AHE = Góc ACB (cùng nằm trên cung AC trong đường tròn (O))
Góc AEC = Góc ABC (cùng nằm trên cung AB trong đường tròn (O))
Vậy tứ giác AHEC và tam giác ABC đồng dạng.
Từ đó, ta có: HE // BK và AB/AE = AC/AH (do đồng dạng)
=> AB.AE = AC.AH

3) Ta có:
Góc EFB = Góc EAB = Góc ACB (cùng nằm trên cung AC trong đường tròn (O))
Góc EBF = Góc EBA = Góc ABC (cùng nằm trên cung AB trong đường tròn (O))
Vậy tứ giác EFMB là tứ giác nội tiếp.
M là trung điểm của BC nên BM = MC.
Ta có: Góc EBM = Góc MCB = Góc ACB
=> Góc EBM = Góc EFB
Vậy HE // BK và M là tâm đường tròn ngoại tiếp HEF.