Cho tam giác ABC vuông tại A. đường tròn (O) đường kính AB cắt đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu vuông hóc của A trên OC, AH cắt BC tại M

Ta có:
- Góc ABD = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)
- Góc AHD = 90° (vì H là hình chiếu vuông góc của A trên OC)
- Góc ABD = Góc AHD = 90° (do AB và AH đều vuông góc với BC)
=> Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AHD (cùng có góc vuông và góc A)
=> BD/HD = AD/AH (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- AB^2 + AC^2 = BC^2 (theo định lý Pythagore)
- AB = 2R (với R là bán kính đường tròn (o) có đường kính AB)
=> 4R^2 + AC^2 = BC^2 (2)

Xét tam giác ABC, ta có:
- Góc ABC = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)
- Góc BAC = Góc BDC (cùng chắn cung BD trên đường tròn (o))
=> Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BDC
=> BC/AC = DC/BC
=> BC^2 = AC*DC (3)

Từ (2) và (3), ta có:
4R^2 + AC^2 = AC*DC
=> DC = (4R^2 + AC^2)/AC

Từ (1), ta có:
BD/HD = AD/AH
=> BD/(BD + DH) = AD/AH
=> BD = AD * (BD + DH)/AH
=> BD = AD * (BD + DH)/AH
=> BD = AD * (BD + DC)/AH
=> BD = AD * (BD + (4R^2 + AC^2)/AC)/AH
=> BD = AD * (BD*AC + 4R^2 + AC^2)/AC/AH
=> BD = AD * (AB*AC + 4R^2 + AC^2)/AC/AH
=> BD = AD * (2R*AC + 4R^2 + AC^2)/AC/AH
=> BD = AD * (2R*AC + 4R^2 + AC^2)/AC/AH
=> BD = AD * (2R*AC + 4R^2 + AC^2)/AC/AH

Vậy, CM:HM là tia phân giác của góc BHD.