Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P): y = x^2 và (d): y = ( m^2+2m) x + m + 2. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có tung độ bằng nhau

Điểm cắt của (P) và (d) có tung độ bằng nhau khi và chỉ khi phương trình y = x^2 và y = (m^2 + 2m)x + m + 2 có nghiệm chung.

Để tìm điểm cắt của (P) và (d), ta giải hệ phương trình:
x^2 = (m^2 + 2m)x + m + 2

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm chung là đẳng thức trên phải có nghiệm. Ta có:
x^2 - (m^2 + 2m)x - m - 2 = 0

Để hệ phương trình trên có nghiệm, ta cần điều kiện delta của phương trình trên lớn hơn hoặc bằng 0:
Δ = (m^2 + 2m)^2 + 4(m + 2) ≥ 0
⇔ m^4 + 4m^3 + 4m^2 + 4m + 4 ≥ 0
⇔ (m^2 + 2)^2 + 4m + 4 ≥ 0
⇔ (m^2 + 2)^2 + 4(m + 2) ≥ 0

Với mọi giá trị của m, ta đều có (m^2 + 2)^2 ≥ 0 và 4(m + 2) ≥ 0. Vậy điều kiện trên luôn đúng với mọi m.

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có tung độ bằng nhau, ta có thể chọn m bất kỳ.