Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB

Để chứng minh các điều cần thiết, ta cần vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=above:$A$] (A) at (0,4);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (3,0);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (1.5,0);
\coordinate[label=above:$H$] (H) at (0,0.8);
\coordinate[label=above:$E$] (E) at (0,2);
\coordinate[label=above:$K$] (K) at (0.6,1.2);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (H);
\draw (H) -- (D);
\draw (A) -- (E);
\draw (E) -- (D);
\draw (E) -- (K);
\draw (K) -- (D);
\draw (C) -- (K);

\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có:
\[
\begin{array}{rcl}
\angle HAD &=& \angle CAD \quad \text{(do AH là phân giác của góc HAC)} \\
\angle AHD &=& \angle AED \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\angle AHD &=& \angle AED \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\end{array}
\]

Do đó, ta có tam giác AHD = tam giác AED. Từ đó suy ra AE = AH.

b) Ta có:
\[
\begin{array}{rcl}
\angle KCD &=& \angle ECD \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\angle KCD &=& \angle EAD \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\angle KCD &=& \angle HAD \quad \text{(do AH là phân giác của góc HAC)} \\
\angle KCD &=& \angle AHD \quad \text{(do tam giác AHD = tam giác AED)} \\
\angle KCD &=& \angle AED \quad \text{(do tam giác AHD = tam giác AED)} \\
\angle KCD &=& \angle EAD \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\angle KCD &=& \angle ECD \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\end{array}
\]

Do đó, tam giác KCD cân.

c) Ta có:
\[
\begin{array}{rcl}
\angle BAK &=& \angle CAK \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\angle BAK &=& \angle CAD \quad \text{(do AK là phân giác của góc CAD)} \\
\angle BAK &=& \angle HAD \quad \text{(do AH là phân giác của góc HAC)} \\
\angle BAK &=& \angle AHD \quad \text{(do tam giác AHD = tam giác AED)} \\
\angle BAK &=& \angle AED \quad \text{(do tam giác AHD = tam giác AED)} \\
\angle BAK &=& \angle EAD \quad \text{(cùng bằng góc vuông)} \\
\end{array}
\]

Vậy ta có BK = AK.