Giải:

a) Ta có:
- $\widehat{QIM} = \widehat{QBM}$ (cùng chắn cung QB trên đường tròn (O))
- $\widehat{QBM} = \widehat{QAM}$ (cùng nội tiếp ABMC)
- $\widehat{QAM} = \widehat{QIM}$ (cùng chắn cung QA trên đường tròn (O))
Vậy tứ giác AIQM là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
- $\widehat{HCM} = 90^\circ$ (do CH vuông góc với AB)
- $\widehat{HCM} = \widehat{QCM}$ (cùng nội tiếp ABMC)
- $\widehat{QCM} = \widehat{QBM}$ (cùng chắn cung QB trên đường tròn (O))
- $\widehat{QBM} = \widehat{QNM}$ (cùng nội tiếp MBQN)
Vậy $\triangle QNM$ vuông tại N và CN là đường cao, suy ra $CH = 2CN$.