Để giải bất phương trình \(7x^2 - 15x + 8 < 0\), ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho biểu thức bên trái của dấu "<" là âm.

Để giải bất phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng định lí về dấu của hàm bậc hai:

Với \(ax^2 + bx + c < 0\), nếu \(a > 0\) thì biểu thức sẽ nhỏ hơn 0 trên khoảng nằm giữa hai nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).

Đầu tiên, ta cần giải phương trình \(7x^2 - 15x + 8 = 0\). Phương trình này có dạng bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 7\), \(b = -15\), và \(c = 8\).

Giải phương trình ta được:

\[x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8}}{2 \cdot 7}\]

\[x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 224}}{14}\]

\[x = \frac{15 \pm \sqrt{1}}{14}\]

\[x = \frac{15 \pm 1}{14}\]

Vậy \(x_1 = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}\) và \(x_2 = \frac{14}{14} = 1\).

Ta có hai nghiệm của phương trình là \(x_1 = \frac{8}{7}\) và \(x_2 = 1\).

Sau đó, ta sẽ vẽ đồ thị hàm số \(y = 7x^2 - 15x + 8\) để xác định khoảng giá trị của \(x\) sao cho \(y < 0\).

Đồ thị của hàm số này sẽ là một đường parabol mở hướng lên với đỉnh nằm trên trục hoành tại điểm có hoành độ là \(\frac{-b}{2a} = \frac{15}{14}\).

Khi vẽ đồ thị, ta sẽ thấy rằng hàm số \(y = 7x^2 - 15x + 8\) sẽ nhỏ hơn 0 trên khoảng nằm giữa hai nghiệm \(x_1 = \frac{8}{7}\) và \(x_2 = 1\).

Vậy nghiệm của bất phương trình \(7x^2 - 15x + 8 < 0\) là \(x \in (\frac{8}{7}, 1)\).