Để chứng minh rằng chữ số tận cùng của \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \ldots + 3^{99} + 3^{100} \) là 0, ta có thể sử dụng tính chất của số học modulo.

Trước hết, ta nhận thấy rằng \( A \) là tổng của một cấp số nhân với công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 3. Tổng của một cấp số nhân có thể được tính bằng công thức:

\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên,
- \( r \) là công bội,
- \( n \) là số số hạng.

Ở đây, \( a = 3 \), \( r = 3 \), và \( n = 100 \). Do đó, tổng \( A \) có thể được viết lại như sau:

\[ A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{100} = 3 \left( \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} \right) = \frac{3(3^{100} - 1)}{2} \]

Bây giờ, ta cần kiểm tra chữ số tận cùng của \( A \). Để làm điều này, ta sẽ tính \( A \) modulo 10.

Trước hết, ta cần tính \( 3^{100} \mod 10 \). Ta nhận thấy rằng các lũy thừa của 3 có một chu kỳ khi xét modulo 10:

\[
\begin{aligned}
3^1 &\equiv 3 \mod 10, \\
3^2 &\equiv 9 \mod 10, \\
3^3 &\equiv 27 \equiv 7 \mod 10, \\
3^4 &\equiv 81 \equiv 1 \mod 10.
\end{aligned}
\]

Chu kỳ này lặp lại sau mỗi 4 số hạng. Do đó, để tính \( 3^{100} \mod 10 \), ta chỉ cần tìm số dư của 100 khi chia cho 4:

\[ 100 \mod 4 = 0 \]

Điều này có nghĩa là \( 3^{100} \equiv 3^0 \equiv 1 \mod 10 \).

Vậy:

\[ 3^{100} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 10 \]

Do đó:

\[ \frac{3(3^{100} - 1)}{2} \equiv \frac{3 \cdot 0}{2} \equiv 0 \mod 10 \]

Vì vậy, chữ số tận cùng của \( A \) là 0.

Kết luận: Chữ số tận cùng của \( A \) là 0.