Để rút gọn biểu thức \( B = \frac{{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}}{{\sqrt{ab}}} + \frac{{\sqrt{a} + \sqrt{b}}} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tổng hợp phân số đầu tiên:**
   - Nhân cả tử và mẫu số của phân số với \( \sqrt{ab} \), để loại bỏ dấu căn trong tử số.
   - \( \frac{{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}}{{\sqrt{ab}}} = \frac{{a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}} = \frac{{\sqrt{ab}}} \)

2. **Tổng hợp phân số thứ hai:**
   - Nhân cả tử và mẫu số của phân số với \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \), để loại bỏ dấu căn trong tử số.
   - \( \frac{{\sqrt{a} + \sqrt{b}}} = \frac{{(a - b)(\sqrt{a} - \sqrt{b})}}{{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}} = \frac{{a\sqrt{a} - a\sqrt{b} - b\sqrt{a} + b\sqrt{b}}} = \frac{{a(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - b(\sqrt{a} - \sqrt{b})}} = \frac{{a\sqrt{a} - b\sqrt{a} - a\sqrt{b} + b\sqrt{b}}} = \frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a - b)}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \)

3. **Tổng hợp hai phân số:**
   - \( \frac{{\sqrt{ab}}} + \sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{{\sqrt{ab}}} + \frac{{\sqrt{a} \cdot \sqrt{ab}}}{{\sqrt{ab}}} - \frac{{\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab}}}{{\sqrt{ab}}} = \frac}{{\sqrt{ab}}} \)

Vậy, biểu thức B đã được rút gọn thành: 
\[ B = \frac}{{\sqrt{ab}}} \]