Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ đường cao AH và đường trung tuyến AD (H, D thuộc BC)

a) Ta có:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\]
\[BC = \sqrt{400} = 20\text{cm}\]

Đường trung tuyến AD chia BC thành 2 đoạn bằng nhau nên:
\[AD = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{cm}\]

b) Ta có:
\[\frac{HB}{HA} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\]
\[\frac{HC}{HA} = \frac{AC}{AB} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\]

Do đó, tam giác HBA đồng dạng tam giác HAC.

Từ đồng dạng tam giác, ta có:
\[\frac{AH^2}{HB \cdot HC} = \frac{HA^2}{HB \cdot HC} = \frac{HA}{HB} \cdot \frac{HA}{HC} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1\]

Vậy \(AH^2 = HB \cdot HC\).

c) Ta có:
\[\angle ABE = 90^\circ - \angle BAM = \angle BAD\]
Và ta cũng có:
\[\angle ABC = \angle EMB\]
Do tam giác ABC đồng dạng tam giác EMB nên ta có điều phải chứng minh.