Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D

a) Ta có:
\(\angle ACN = 90^\circ\) (do CN vuông góc với NM)
\(\angle AMN = \angle ANM\) (cùng chắn cung NA trên đường tròn)
\(\angle ANM = \angle ABM\) (cùng chắn cung NB trên đường tròn)
\(\angle ABM = \angle CDN\) (cùng chắn cung NB trên đường tròn)
Do đó, ta có:
\(\angle ACN = \angle AMN = \angle ANM = \angle ABM = \angle CDN\)
Từ đó suy ra ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn. Tương tự, ta cũng chứng minh được BDNM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
\(\angle ANB = \angle AMN\) (cùng chắn cung NA trên đường tròn)
\(\angle CMB = \angle CDN\) (cùng chắn cung NB trên đường tròn)
Do đó, ta có \(\angle ANB = \angle CMB\). Tương tự, ta cũng có \(\angle BAN = \angle CBM\).
Vậy, theo góc đồng dạng, ta có ΔANB đồng dạng với ΔCMB.

c) Ta có:
\(\angle AIM = \angle CIM\) (cùng chắn cung AM trên đường tròn)
\(\angle BIM = \angle DIM\) (cùng chắn cung BM trên đường tròn)
Do đó, ta có \(\angle AIM = \angle CIM\) và \(\angle BIM = \angle DIM\).
Từ đó, ta suy ra \(IK \parallel AB\).