1) Để chứng minh rằng đường thẳng d và parabol luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B nằm khác phía đối với trục tung, ta cần giải hệ phương trình giữa đường thẳng d và parabol y = x^2.

Đường thẳng d: y = mx + 2

Parabol: y = x^2

Để tìm điểm cắt nhau giữa đường thẳng và parabol, ta giải hệ phương trình:

mx + 2 = x^2

x^2 - mx - 2 = 0

Để đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt, ta cần xác định điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Điều kiện này là delta của phương trình lớn hơn 0:

Δ = m^2 + 8 > 0

Điều kiện trên luôn đúng vì m^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 và 8 cũng lớn hơn 0.

Vậy ta kết luận rằng đường thẳng d và parabol luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B nằm khác phía đối với trục tung.

2) Để tính diện tích tam giác OAB, ta cần tìm tọa độ của hai điểm A và B sau đó tính diện tích tam giác OAB.

Để tìm tọa độ của điểm A và B, ta giải hệ phương trình giữa đường thẳng d và parabol đã cho.

mx + 2 = x^2

x^2 - mx - 2 = 0

Giải phương trình trên ta được hai nghiệm x1 và x2:

x1 = (m + √(m^2 + 8))/2 và x2 = (m - √(m^2 + 8))/2

Tọa độ của điểm A là (x1, mx1 + 2) và tọa độ của điểm B là (x2, mx2 + 2).

Diện tích tam giác OAB = 1/2 * |x1 - x2| * |mx1 + 2 - mx2 - 2|

= 1/2 * |x1 - x2| * |m(x1 - x2)|

= 1/2 * |x1 - x2|^2 * |m|

= 1/2 * ((m + √(m^2 + 8))/2 - (m - √(m^2 + 8))/2)^2 * |m|

= 1/2 * (√(m^2 + 8))^2 * |m|

= 1/2 * (m^2 + 8) * |m|

= 1/2 * m^3 + 4m

Để diện tích tam giác OAB bằng 2m + 1, ta cần giải phương trình:

1/2 * m^3 + 4m = 2m + 1

m^3 + 8m - 4m - 2 = 0

m^3 + 4m - 2 = 0

Để giải phương trình trên, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp khác như phương pháp Newton-Raphson.

Kết quả sẽ cho giá trị của m để diện tích tam giác OAB bằng 2m + 1.