Giả sử tồn tại một số hữu tỉ \(a\) và một số vô tỉ \(b\) sao cho \(a + b\) là một số hữu tỉ.

Ta có:
\(a + b = c\), với \(c\) là một số hữu tỉ.

Do \(a\) là một số hữu tỉ, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng phân số: \(a = \frac{m}{n}\), với \(m, n\) là các số nguyên và \(n \neq 0\).

Vì \(b\) là một số vô tỉ, nên không thể biểu diễn nó dưới dạng phân số.

Từ \(a + b = c\), ta suy ra:
\(\frac{m}{n} + b = c\)
\(b = c - \frac{m}{n}\)

Vì \(c\) là một số hữu tỉ và \(\frac{m}{n}\) là một số hữu tỉ, nên \(b\) cũng phải là một số hữu tỉ.

Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu rằng \(b\) là một số vô tỉ.

Vậy, giả định ban đầu là sai và ta kết luận rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ sẽ luôn là một số vô tỉ.