a) Để chứng minh hàm số nghịch biến với mọi x < 0, ta cần chứng minh đạo hàm của hàm số đó với x < 0 luôn âm.

Đạo hàm của hàm số y theo x là: y' = 2(m^2 + 2m + 2)x

Với x < 0, ta có x < 0 và m^2 + 2m + 2 > 0 (vì m^2 + 2m + 2 = (m+1)^2 + 1 > 0 với m bất kỳ)

Do đó, y' = 2(m^2 + 2m + 2)x < 0 với mọi x < 0, suy ra hàm số nghịch biến với mọi x < 0.

Để chứng minh hàm số đồng biến với mọi x > 0, ta cũng cần chứng minh đạo hàm của hàm số đó với x > 0 luôn dương.

Với x > 0, ta có x > 0 và m^2 + 2m + 2 > 0 (vì m^2 + 2m + 2 = (m+1)^2 + 1 > 0 với m bất kỳ)

Do đó, y' = 2(m^2 + 2m + 2)x > 0 với mọi x > 0, suy ra hàm số đồng biến với mọi x > 0.

b) Khi x = ±2, ta có y = (m^2 + 2m + 2)(2)^2 = 4(m^2 + 2m + 2) = 8

Từ đó, ta suy ra m^2 + 2m + 2 = 2

m^2 + 2m + 2 - 2 = 0

m^2 + 2m = 0

m(m + 2) = 0

Vậy m = 0 hoặc m = -2.