1. Ta có:
$\angle OBE = \angle OCE$ (cùng nằm trên cung EC của đường tròn (O;R))
$\angle OEB = \angle OEC$ (do OB, OC là tiếp tuyến của đường tròn (O;R))
$\Rightarrow \angle OBE = \angle OCE = \angle OEB = \angle OEC$
$\Rightarrow$ tứ giác OBEC nội tiếp đường tròn.

2. Ta có:
$\angle AED = \angle ADE$ (do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O;R))
$\angle AEP = \angle ABE$ (cùng nằm trên cùng cung AB của đường tròn (O;R))
$\angle AQB = \angle ACB$ (cùng nằm trên cùng cung AC của đường tròn (O;R))
$\Rightarrow \triangle AEP \sim \triangle ADB$ và $\triangle AQD \sim \triangle ACD$
$\Rightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AP}{AE}$ và $\frac{AC}{AD} = \frac{AQ}{AE}$
$\Rightarrow AB \cdot AP = AD \cdot AE$ (do $AC = AQ$)
Vậy ta đã chứng minh được $AB \cdot AP = AD \cdot AE$.