Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình thang và tam giác.

**a) So sánh diện tích tam giác ABC và tam giác BCD:**

Do ABCD là hình thang, hai đáy AB và CD song song với nhau. Đáy AB dài gấp ba lần đáy CD, tức là \( AB = 3 \times CD \).

Diện tích của tam giác ABC và tam giác BCD có thể được so sánh dựa trên chiều cao từ đỉnh A và đỉnh B xuống đáy CD. Vì hai tam giác này có chung chiều cao từ đỉnh A và đỉnh B xuống đáy CD, diện tích của chúng tỉ lệ với độ dài đáy của chúng.

Gọi diện tích tam giác ABC là \( S_{ABC} \) và diện tích tam giác BCD là \( S_{BCD} \).

Ta có:
\[ \frac{S_{ABC}}{S_{BCD}} = \frac{AB}{CD} = 3 \]

Do đó:
\[ S_{ABC} = 3 \times S_{BCD} \]

**b) So sánh diện tích tam giác BAD và tam giác CAD:**

Tam giác BAD và tam giác CAD có chung chiều cao từ đỉnh D xuống đáy AB. Do đó, diện tích của chúng tỉ lệ với độ dài đáy của chúng.

Gọi diện tích tam giác BAD là \( S_{BAD} \) và diện tích tam giác CAD là \( S_{CAD} \).

Ta có:
\[ \frac{S_{BAD}}{S_{CAD}} = \frac{BD}{CD} \]

Tuy nhiên, vì không có thông tin cụ thể về độ dài BD và CD, ta không thể so sánh chính xác diện tích của hai tam giác này mà không có thêm thông tin.

**c) Tính diện tích tam giác AIB:**

Biết diện tích hình thang ABCD là 48 cm². Ta đã biết rằng:
\[ S_{ABC} = 3 \times S_{BCD} \]

Gọi diện tích tam giác BCD là \( x \), ta có:
\[ S_{ABC} = 3x \]

Tổng diện tích của hình thang ABCD là:
\[ S_{ABC} + S_{BCD} = 3x + x = 4x \]

Do đó:
\[ 4x = 48 \]
\[ x = 12 \]

Vậy diện tích tam giác ABC là:
\[ S_{ABC} = 3x = 3 \times 12 = 36 \, \text{cm}^2 \]

Diện tích tam giác BCD là:
\[ S_{BCD} = x = 12 \, \text{cm}^2 \]

Tam giác AIB là một phần của tam giác ABC. Vì I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, nó chia tam giác ABC thành hai tam giác AIB và BIC có diện tích bằng nhau.

Do đó, diện tích tam giác AIB là:
\[ S_{AIB} = \frac{1}{2} \times S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \, \text{cm}^2 \]

Vậy diện tích tam giác AIB là 18 cm².