Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Ta biết BH = 4 cm và CH = 9 cm. Ta cần tính AH và AB.

Đầu tiên, ta sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông để tính độ dài cạnh BC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên BC là cạnh huyền của tam giác vuông này.

Ta có:
\[ BC = BH + CH = 4 \, \text{cm} + 9 \, \text{cm} = 13 \, \text{cm} \]

Tiếp theo, ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài AH. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot CH \]

Thay các giá trị đã biết vào, ta được:
\[ AH^2 = 4 \, \text{cm} \times 9 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2 \]

Do đó:
\[ AH = \sqrt{36 \, \text{cm}^2} = 6 \, \text{cm} \]

Bây giờ, ta cần tính độ dài AB. Ta sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABH. Ta có:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]

Thay các giá trị đã biết vào, ta được:
\[ AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \]

Do đó:
\[ AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \, \text{cm} \]

Vậy, độ dài AH là 6 cm và độ dài AB là \( 2\sqrt{13} \, \text{cm} \).