Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và tỉ lệ diện tích.

1. **Xác định các tỉ lệ:**
- Gọi \( AC = x \). Vì \( AM = \frac{1}{3} AC \), nên \( AM = \frac{1}{3} x \) và \( MC = \frac{2}{3} x \).
- Trên cạnh \( BM \), lấy điểm \( N \) sao cho \( BN = 2NM \). Gọi \( NM = y \), thì \( BN = 2y \). Do đó, \( BM = BN + NM = 2y + y = 3y \).

2. **Tính tỉ lệ diện tích:**
- Nối \( C \) với \( N \), trên \( CN \) lấy trung điểm \( I \). Vì \( I \) là trung điểm của \( CN \), nên \( CI = IN \).
- Diện tích tam giác \( BNI \) là \( 24 \, \text{cm}^2 \). Vì \( I \) là trung điểm của \( CN \), tam giác \( BNI \) chiếm một nửa diện tích của tam giác \( BCN \).

3. **Tính diện tích tam giác \( BCN \):**
- Diện tích tam giác \( BNI \) là một nửa diện tích tam giác \( BCN \), do đó diện tích tam giác \( BCN \) là \( 2 \times 24 = 48 \, \text{cm}^2 \).

4. **Tính diện tích tam giác \( ABC \):**
- Tam giác \( BCN \) có diện tích bằng \( \frac{2}{3} \) diện tích tam giác \( ABC \) vì \( M \) chia \( AC \) theo tỉ lệ \( 1:2 \) và \( N \) chia \( BM \) theo tỉ lệ \( 2:1 \).
- Do đó, diện tích tam giác \( ABC \) là \( \frac{3}{2} \) diện tích tam giác \( BCN \).

5. **Kết quả:**
- Diện tích tam giác \( ABC \) là \( \frac{3}{2} \times 48 = 72 \, \text{cm}^2 \).

Vậy, diện tích tam giác \( ABC \) là \( 72 \, \text{cm}^2 \).