Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng hai cách khác nhau. Dưới đây là hai cách giải chi tiết:

### Cách 1: Sử dụng tính chất tam giác cân và góc ngoài

1. **Tam giác cân**: Vì tam giác \( \Delta ABC \) cân tại \( A \) nên \( AB = AC \) và \( \angle ABC = \angle ACB \).

2. **Góc trong tam giác**: Tổng các góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \). Do đó:
\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ
\]
Vì \( \angle BAC = 20^\circ \), ta có:
\[
\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ
\]
Do \( \angle ABC = \angle ACB \), nên:
\[
2 \angle ABC = 160^\circ \implies \angle ABC = \angle ACB = 80^\circ
\]

3. **Tính góc \( \angle AMC \)**:
- \( M \) nằm trên \( AB \) sao cho \( MA = BC \).
- Xét tam giác \( \Delta AMC \), ta có \( MA = BC \) và \( AB = AC \), do đó \( \Delta AMC \) là tam giác cân tại \( A \).

4. **Góc ngoài**: Xét tam giác \( \Delta MBC \), ta có:
\[
\angle MBC = \angle ABC = 80^\circ
\]
Vì \( MA = BC \), nên tam giác \( \Delta MBC \) cân tại \( B \), do đó:
\[
\angle MCB = \angle MBC = 80^\circ
\]

5. **Tính góc \( \angle AMC \)**:
- Trong tam giác \( \Delta AMC \), tổng các góc bằng \( 180^\circ \):
\[
\angle AMC + \angle MAC + \angle ACM = 180^\circ
\]
- Ta đã biết \( \angle MAC = 20^\circ \) và \( \angle ACM = 80^\circ \), do đó:
\[
\angle AMC + 20^\circ + 80^\circ = 180^\circ \implies \angle AMC = 80^\circ
\]

### Cách 2: Sử dụng định lý cosin

1. **Tam giác cân**: Tương tự cách 1, ta có \( \angle ABC = \angle ACB = 80^\circ \).

2. **Định lý cosin**: Xét tam giác \( \Delta AMC \), ta có:
- \( MA = BC \)
- \( AB = AC \)

3. **Tính độ dài cạnh**:
- Gọi \( AB = AC = x \), \( BC = y \), \( MA = y \).

4. **Áp dụng định lý cosin**:
- Trong tam giác \( \Delta ABC \):
\[
y^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(20^\circ) = 2x^2 (1 - \cos(20^\circ))
\]

5. **Tính góc \( \angle AMC \)**:
- Xét tam giác \( \Delta AMC \):
\[
\cos(\angle AMC) = \frac{MA^2 + AC^2 - MC^2}{2 \cdot MA \cdot AC}
\]
- Thay \( MA = y \), \( AC = x \), \( MC = x \):
\[
\cos(\angle AMC) = \frac{y^2 + x^2 - x^2}{2 \cdot y \cdot x} = \frac{y^2}{2yx}
\]
- Thay \( y^2 = 2x^2 (1 - \cos(20^\circ)) \):
\[
\cos(\angle AMC) = \frac{2x^2 (1 - \cos(20^\circ))}{2yx} = \frac{x (1 - \cos(20^\circ))}{x} = 1 - \cos(20^\circ)
\]
- Do đó:
\[
\angle AMC = 80^\circ
\]

Vậy, số đo góc \( \angle AMC \) là \( 80^\circ \).