Để chứng minh phương trình \(x^2 + 5x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), ta cần tính biệt thức (hay còn gọi là delta) của phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai tổng quát có dạng:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 5\), và \(c = 1\). Biệt thức (delta) được tính bằng công thức:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Thay các giá trị \(a\), \(b\), và \(c\) vào công thức:
\[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 \]

Vì \(\Delta > 0\), phương trình \(x^2 + 5x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức \(M = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2\).

Theo định lý Viète, với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), tổng và tích của hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) được cho bởi:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]
\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]

Áp dụng vào phương trình \(x^2 + 5x + 1 = 0\):
\[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{1} = -5 \]
\[ x_1 x_2 = \frac{1}{1} = 1 \]

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \(M\):
\[ M = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 \]
\[ M = (-5)^2 - 1 \]
\[ M = 25 - 1 \]
\[ M = 24 \]

Vậy giá trị của biểu thức \(M\) là \(24\).