Để hai đường thẳng \( y = -3x + 4 \) và \( y = (m-1)x + m^2 \) cắt nhau tại một điểm trên trục tung, điểm cắt này phải có cùng giá trị trục tung. Điều này xảy ra khi giá trị y của cả hai đường thẳng là giống nhau. 

Vì điểm cắt này nằm trên trục tung, nên tọa độ của nó sẽ có dạng (0, y). Đặt \( y = -3x + 4 \) và \( y = (m-1)x + m^2 \) bằng nhau, ta có:

\[ -3x + 4 = (m-1)x + m^2 \]

Giải phương trình này để tìm ra giá trị của x và từ đó tính được giá trị y.

\[ -3x + 4 = (m-1)x + m^2 \]
\[ -3x - (m-1)x = m^2 - 4 \]
\[ -(3+m-1)x = m^2 - 4 \]
\[ -(2+m)x = m^2 - 4 \]
\[ x = c{m^2 - 4}{-(2+m)} \]

Vì điểm cắt này nằm trên trục tung, nên \(x = 0\). Điều này đưa ta đến phương trình:

\[ 0 = \{m^2 - 4}{-(2+m)} \]

Giải phương trình này để tìm giá trị của \(m\).

\[ 0 = \frac{m^2 - 4}{-(2+m)} \]
\[ 0 = m^2 - 4 \]
\[ m^2 = 4 \]
\[ m = \pm 2 \]

Vậy, giá trị của \(m\) có thể là \(2\) hoặc \(-2\).