Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 12 cm và AC = 16 cm. Để tính các đoạn HB và HD, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính độ dài cạnh BC:**
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài đường cao AH:**
Đường cao AH trong tam giác vuông ABC có thể được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài đoạn HB:**
Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là AHB và AHC. Sử dụng công thức diện tích tam giác để tính HB:
\[
\text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ cm}^2
\]
\[
\text{Diện tích tam giác AHB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9.6 = 57.6 \text{ cm}^2
\]
\[
\text{Diện tích tam giác AHC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9.6 = 76.8 \text{ cm}^2
\]
\[
\text{Diện tích tam giác AHB} = \frac{1}{2} \cdot HB \cdot AH
\]
\[
57.6 = \frac{1}{2} \cdot HB \cdot 9.6
\]
\[
HB = \frac{57.6 \cdot 2}{9.6} = 12 \text{ cm}
\]

4. **Tính độ dài đoạn HD:**
Đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn tỉ lệ với các cạnh kề của tam giác vuông ABC:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]
Gọi BD = x và DC = y, ta có:
\[
x + y = BC = 20 \text{ cm}
\]
\[
\frac{x}{y} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4}y
\]
Thay x vào phương trình x + y = 20:
\[
\frac{3}{4}y + y = 20
\]
\[
\frac{7}{4}y = 20
\]
\[
y = \frac{20 \cdot 4}{7} = \frac{80}{7} \approx 11.43 \text{ cm}
\]
\[
x = \frac{3}{4} \cdot \frac{80}{7} = \frac{240}{28} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ cm}
\]

Vậy, đoạn HB = 12 cm và đoạn HD = \(\frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ cm}\).