Để xác định \( m \) sao cho hàm số \( y = \sqrt{m^2 - 4m - 2} \cdot x - 3 \) là hàm số bậc nhất, ta cần đảm bảo rằng hệ số của \( x \) là một số thực khác 0.

Hàm số bậc nhất có dạng \( y = ax + b \), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số và \( a \neq 0 \).

Trong trường hợp này, hệ số của \( x \) là \( \sqrt{m^2 - 4m - 2} \). Để hàm số là hàm số bậc nhất, ta cần:

1. \( \sqrt{m^2 - 4m - 2} \) phải là một số thực.
2. \( \sqrt{m^2 - 4m - 2} \neq 0 \).

Điều kiện để \( \sqrt{m^2 - 4m - 2} \) là một số thực là biểu thức dưới dấu căn phải không âm:
\[ m^2 - 4m - 2 \geq 0. \]

Giải bất phương trình này:
\[ m^2 - 4m - 2 \geq 0. \]

Ta giải phương trình bậc hai:
\[ m^2 - 4m - 2 = 0. \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = -2 \):
\[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}. \]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[ m_1 = 2 + \sqrt{6}, \]
\[ m_2 = 2 - \sqrt{6}. \]

Bất phương trình \( m^2 - 4m - 2 \geq 0 \) có nghiệm:
\[ (m - (2 + \sqrt{6}))(m - (2 - \sqrt{6})) \geq 0. \]

Xét dấu của tam thức bậc hai, ta có:
\[ m \leq 2 - \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m \geq 2 + \sqrt{6}. \]

Đồng thời, để \( \sqrt{m^2 - 4m - 2} \neq 0 \), ta cần:
\[ m^2 - 4m - 2 \neq 0. \]

Vậy, điều kiện để hàm số là hàm số bậc nhất là:
\[ m \leq 2 - \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m \geq 2 + \sqrt{6}. \]

Hy vọng điều này giúp bạn!