Để giải và biện luận bất phương trình \(3x + m^2 \geq m(x + 3)\), ta cần xem xét các giá trị của \(m\) và \(x\) để xác định điều kiện thỏa mãn bất phương trình này.

Trước tiên, ta phân tích bất phương trình:

\[3x + m^2 \geq m(x + 3)\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\[3x + m^2 - m(x + 3) \geq 0\]

Rút gọn:

\[3x + m^2 - mx - 3m \geq 0\]

Nhóm các hạng tử chứa \(x\) lại:

\[3x - mx + m^2 - 3m \geq 0\]

Đặt \(x\) làm nhân tử chung:

\[x(3 - m) + m^2 - 3m \geq 0\]

Bây giờ, ta sẽ biện luận theo các trường hợp của \(m\):

### Trường hợp 1: \(m = 3\)

Khi \(m = 3\), bất phương trình trở thành:

\[x(3 - 3) + 3^2 - 3 \cdot 3 \geq 0\]

\[0 + 9 - 9 \geq 0\]

\[0 \geq 0\]

Điều này luôn đúng với mọi \(x\). Vậy khi \(m = 3\), bất phương trình đúng với mọi \(x\).

### Trường hợp 2: \(m \neq 3\)

Khi \(m \neq 3\), ta có thể chia cả hai vế của bất phương trình cho \(3 - m\) (lưu ý rằng dấu của bất phương trình sẽ thay đổi nếu \(3 - m < 0\)):

\[x + \frac{m^2 - 3m}{3 - m} \geq 0\]

Rút gọn phân số:

\[x + \frac{m(m - 3)}{3 - m} \geq 0\]

\[x - m \geq 0\]

\[x \geq m\]

Vậy, khi \(m \neq 3\), bất phương trình đúng khi và chỉ khi \(x \geq m\).

### Kết luận:

- Khi \(m = 3\), bất phương trình đúng với mọi \(x\).
- Khi \(m \neq 3\), bất phương trình đúng khi và chỉ khi \(x \geq m\).