Cho biểu thức \( B = \frac{4x + 1}{2x + 3} \).

### a. Tìm \( x \) nguyên để \( B \) đạt giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \), ta xét giới hạn của \( B \) khi \( x \) tiến đến vô cùng:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 1}{2x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{4}{2} = 2
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( B \) khi \( x \) là số nguyên sẽ là giá trị gần với 2 nhất. Ta thử một số giá trị nguyên của \( x \):

- Với \( x = 0 \):

\[
B = \frac{4(0) + 1}{2(0) + 3} = \frac{1}{3} \approx 0.333
\]

- Với \( x = 1 \):

\[
B = \frac{4(1) + 1}{2(1) + 3} = \frac{5}{5} = 1
\]

- Với \( x = -1 \):

\[
B = \frac{4(-1) + 1}{2(-1) + 3} = \frac{-4 + 1}{-2 + 3} = \frac{-3}{1} = -3
\]

- Với \( x = -2 \):

\[
B = \frac{4(-2) + 1}{2(-2) + 3} = \frac{-8 + 1}{-4 + 3} = \frac{-7}{-1} = 7
\]

Từ các giá trị trên, ta thấy \( B \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = -1 \) và giá trị nhỏ nhất là \( -3 \).

### b. Tìm \( x \) nguyên để \( B \) đạt giá trị lớn nhất

Từ các giá trị đã tính ở phần a, ta thấy \( B \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x = -2 \) và giá trị lớn nhất là \( 7 \).

### c. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \) với \( x \) thuộc \( \mathbb{N}^* \)

Với \( x \) thuộc \( \mathbb{N}^* \) (tức là \( x \) là số tự nhiên dương), ta xét các giá trị \( x \) từ 1 trở lên:

- Với \( x = 1 \):

\[
B = \frac{4(1) + 1}{2(1) + 3} = \frac{5}{5} = 1
\]

- Với \( x = 2 \):

\[
B = \frac{4(2) + 1}{2(2) + 3} = \frac{9}{7} \approx 1.286
\]

- Với \( x = 3 \):

\[
B = \frac{4(3) + 1}{2(3) + 3} = \frac{13}{9} \approx 1.444
\]

- Với \( x = 4 \):

\[
B = \frac{4(4) + 1}{2(4) + 3} = \frac{17}{11} \approx 1.545
\]

Ta thấy rằng khi \( x \) tăng, giá trị của \( B \) cũng tăng dần. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( B \) với \( x \) thuộc \( \mathbb{N}^* \) là khi \( x = 1 \) và giá trị nhỏ nhất là \( 1 \).