Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông, phân giác, và các đường song song. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

### a. Chứng minh: \( \angle CNA = \angle CAN \)

1. **Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( \angle BAC = 90^\circ \)**:
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), do đó \( AH \perp BC \).

2. **Xét tam giác vuông \( \triangle ABH \) với \( \angle BAH \)**:
- Tia phân giác của \( \angle BAH \) cắt \( BH \) tại \( N \).

3. **Xét tam giác \( \triangle ABH \) với \( N \) là điểm trên \( BH \)**:
- Do \( N \) nằm trên phân giác của \( \angle BAH \), ta có \( \angle BAN = \angle HAN \).

4. **Xét tam giác \( \triangle CAN \)**:
- \( \angle CAN \) là góc ngoài của tam giác \( \triangle BAN \), do đó \( \angle CAN = \angle BAN \).

5. **Xét tam giác \( \triangle CNA \)**:
- \( \angle CNA \) là góc ngoài của tam giác \( \triangle HAN \), do đó \( \angle CNA = \angle HAN \).

6. **Kết luận**:
- Từ \( \angle CAN = \angle BAN \) và \( \angle CNA = \angle HAN \), ta có \( \angle CAN = \angle CNA \).

### b. Kẻ \( CE \) là phân giác của góc \( \angle ACB \) (E thuộc AB). Chứng minh rằng: \( EN \parallel AH \)

1. **Xét tam giác \( \triangle ACB \) với \( CE \) là phân giác của \( \angle ACB \)**:
- \( E \) thuộc \( AB \).

2. **Xét tam giác \( \triangle AHB \)**:
- \( AH \perp BC \).

3. **Xét tam giác \( \triangle ACB \) với \( CE \) là phân giác**:
- Theo định lý phân giác trong tam giác, \( \frac{AE}{EB} = \frac{AC}{CB} \).

4. **Xét tam giác \( \triangle ABH \) với \( N \) là điểm trên \( BH \)**:
- \( N \) nằm trên phân giác của \( \angle BAH \).

5. **Chứng minh \( EN \parallel AH \)**:
- Do \( N \) nằm trên phân giác của \( \angle BAH \), ta có \( \angle BAN = \angle HAN \).
- Do \( CE \) là phân giác của \( \angle ACB \), ta có \( \angle ACE = \angle BCE \).
- Vì \( \angle BAN = \angle HAN \) và \( \angle ACE = \angle BCE \), ta suy ra \( EN \parallel AH \).

### c. Trên đoạn thẳng \( CE \) lấy điểm \( I \) bất kì (I khác E và I khác C). Chứng minh rằng: \( AB + AC > BI + CI \)

1. **Xét tam giác \( \triangle ABC \)**:
- \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh của tam giác vuông \( \triangle ABC \).

2. **Xét điểm \( I \) trên đoạn \( CE \)**:
- \( I \) nằm trên đoạn \( CE \) nhưng không trùng với \( E \) và \( C \).

3. **Áp dụng bất đẳng thức tam giác**:
- Trong tam giác \( \triangle ABI \), ta có \( AB + BI > AI \).
- Trong tam giác \( \triangle ACI \), ta có \( AC + CI > AI \).

4. **Tổng hợp bất đẳng thức**:
- Cộng hai bất đẳng thức trên: \( AB + BI + AC + CI > AI + AI \).
- Do \( I \) nằm trên đoạn \( CE \), ta có \( AI \leq AC \).

5. **Kết luận**:
- \( AB + AC > BI + CI \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.