Để tìm \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \((x-2)(5-x) = |2y+1| + 2\), ta sẽ giải từng bước như sau:

1. **Phân tích phương trình:**

\((x-2)(5-x) = |2y+1| + 2\)

2. **Giải phương trình theo \( x \):**

Ta có thể khai triển biểu thức bên trái:
\[
(x-2)(5-x) = 5x - x^2 - 10 + 2x = -x^2 + 7x - 10
\]

Do đó, phương trình trở thành:
\[
-x^2 + 7x - 10 = |2y+1| + 2
\]

3. **Xét các giá trị của \( |2y+1| \):**

Ta biết rằng \( |2y+1| \geq 0 \), do đó:
\[
|2y+1| + 2 \geq 2
\]

Điều này có nghĩa là:
\[
-x^2 + 7x - 10 \geq 2
\]

Giải bất phương trình này:
\[
-x^2 + 7x - 10 \geq 2
\]
\[
-x^2 + 7x - 12 \geq 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
-x^2 + 7x - 12 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = -1 \), \( b = 7 \), và \( c = -12 \):
\[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{-2} = \frac{-7 \pm 1}{-2}
\]

Do đó, ta có hai nghiệm:
\[
x = \frac{-7 + 1}{-2} = 3 \quad \text{và} \quad x = \frac{-7 - 1}{-2} = 4
\]

Vậy, \( x \) phải nằm trong khoảng từ 3 đến 4:
\[
3 \leq x \leq 4
\]

4. **Tìm giá trị của \( y \):**

Với \( x \) nằm trong khoảng từ 3 đến 4, ta thay vào phương trình ban đầu để tìm \( y \).

- Với \( x = 3 \):
\[
(3-2)(5-3) = |2y+1| + 2
\]
\[
1 \cdot 2 = |2y+1| + 2
\]
\[
2 = |2y+1| + 2
\]
\[
|2y+1| = 0
\]
\[
2y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}
\]

- Với \( x = 4 \):
\[
(4-2)(5-4) = |2y+1| + 2
\]
\[
2 \cdot 1 = |2y+1| + 2
\]
\[
2 = |2y+1| + 2
\]
\[
|2y+1| = 0
\]
\[
2y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}
\]

Vậy, các cặp nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:
\[
(x, y) = (3, -\frac{1}{2}) \quad \text{và} \quad (4, -\frac{1}{2})
\]