Cho tam giác \( ABC \) có diện tích \( S_{ABC} = 120 \, \text{cm}^2 \). Trên cạnh \( AB \) lấy điểm \( M \) sao cho \( AM = MB \), trên cạnh \( AC \) lấy điểm \( N \) sao cho \( AN = 0.5 \cdot AC \).

### a) Tính diện tích các tam giác \( AMC \) và \( AMN \).

1. **Diện tích tam giác \( AMC \)**:
Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), tam giác \( AMC \) có cùng chiều cao với tam giác \( ABC \) và đáy \( AM = \frac{1}{2} AB \).

Diện tích tam giác \( AMC \) là:
\[
S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60 \, \text{cm}^2
\]

2. **Diện tích tam giác \( AMN \)**:
Vì \( N \) nằm trên \( AC \) và \( AN = 0.5 \cdot AC \), tam giác \( AMN \) có cùng chiều cao với tam giác \( AMC \) và đáy \( AN = 0.5 \cdot AC \).

Diện tích tam giác \( AMN \) là:
\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \, \text{cm}^2
\]

### b) So sánh diện tích của hai tam giác \( BMO \) và \( CNO \).

Gọi \( O \) là giao điểm của \( BN \) và \( CM \).

1. **Diện tích tam giác \( BMO \)**:
Tam giác \( BMO \) có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác \( BMC \) vì \( O \) là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác \( BMNC \).

Diện tích tam giác \( BMC \) là:
\[
S_{BMC} = S_{ABC} - S_{AMC} = 120 - 60 = 60 \, \text{cm}^2
\]

Diện tích tam giác \( BMO \) là:
\[
S_{BMO} = \frac{1}{2} S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \, \text{cm}^2
\]

2. **Diện tích tam giác \( CNO \)**:
Tam giác \( CNO \) có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác \( CNA \) vì \( O \) là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác \( CNMA \).

Diện tích tam giác \( CNA \) là:
\[
S_{CNA} = S_{AMC} - S_{AMN} = 60 - 30 = 30 \, \text{cm}^2
\]

Diện tích tam giác \( CNO \) là:
\[
S_{CNO} = \frac{1}{2} S_{CNA} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \, \text{cm}^2
\]

So sánh diện tích của hai tam giác \( BMO \) và \( CNO \):
\[
S_{BMO} = 30 \, \text{cm}^2 \quad \text{và} \quad S_{CNO} = 15 \, \text{cm}^2
\]
Do đó, \( S_{BMO} \) lớn gấp đôi \( S_{CNO} \).

### c) Tính diện tích tứ giác \( AMON \).

Diện tích tứ giác \( AMON \) là tổng diện tích của hai tam giác \( AMN \) và \( AMO \).

1. **Diện tích tam giác \( AMO \)**:
Tam giác \( AMO \) là một phần của tam giác \( AMC \), và \( O \) là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác \( AMNC \).

Diện tích tam giác \( AMO \) là:
\[
S_{AMO} = S_{AMC} - S_{CNO} = 60 - 15 = 45 \, \text{cm}^2
\]

2. **Diện tích tứ giác \( AMON \)**:
\[
S_{AMON} = S_{AMN} + S_{AMO} = 30 + 45 = 75 \, \text{cm}^2
\]

Vậy, diện tích tứ giác \( AMON \) là \( 75 \, \text{cm}^2 \).