Để tìm số nghiệm của phương trình \(|3x - 2| = 4x + 1\), ta cần xem xét hai trường hợp của giá trị tuyệt đối.

### Trường hợp 1: \(3x - 2 \geq 0\)
Trong trường hợp này, \(|3x - 2| = 3x - 2\). Phương trình trở thành:
\[3x - 2 = 4x + 1\]

Giải phương trình:
\[3x - 4x = 1 + 2\]
\[-x = 3\]
\[x = -3\]

Ta cần kiểm tra điều kiện \(3x - 2 \geq 0\):
\[3(-3) - 2 \geq 0\]
\[-9 - 2 \geq 0\]
\[-11 \geq 0\] (điều này không đúng)

Vậy \(x = -3\) không thỏa mãn điều kiện \(3x - 2 \geq 0\).

### Trường hợp 2: \(3x - 2 < 0\)
Trong trường hợp này, \(|3x - 2| = -(3x - 2) = -3x + 2\). Phương trình trở thành:
\[-3x + 2 = 4x + 1\]

Giải phương trình:
\[2 - 1 = 4x + 3x\]
\[1 = 7x\]
\[x = \frac{1}{7}\]

Ta cần kiểm tra điều kiện \(3x - 2 < 0\):
\[3\left(\frac{1}{7}\right) - 2 < 0\]
\[\frac{3}{7} - 2 < 0\]
\[\frac{3}{7} - \frac{14}{7} < 0\]
\[-\frac{11}{7} < 0\] (điều này đúng)

Vậy \(x = \frac{1}{7}\) thỏa mãn điều kiện \(3x - 2 < 0\).

### Kết luận
Phương trình \(|3x - 2| = 4x + 1\) có duy nhất một nghiệm là \(x = \frac{1}{7}\).