Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và trung điểm của các đoạn thẳng.

### a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Để xác định loại tứ giác MNPQ, chúng ta cần xem xét các tính chất của nó. Ta biết rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.

Theo định lý về đường trung bình trong tứ giác, tứ giác MNPQ là hình bình hành. Điều này có thể được chứng minh như sau:

- Đường trung bình của một tứ giác nối trung điểm của hai cạnh đối diện sẽ song song với đường chéo của tứ giác và bằng nửa độ dài của đường chéo đó.
- Trong tứ giác ABCD, M và N là trung điểm của AB và BC, nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Tương tự, PQ là đường trung bình của tam giác CDA.
- Do đó, MN song song với AC và PQ cũng song song với AC. Điều này có nghĩa là MN song song với PQ.
- Tương tự, MP và NQ là các đường trung bình của tam giác ABD và tam giác BCD, nên MP song song với BD và NQ cũng song song với BD. Điều này có nghĩa là MP song song với NQ.

Vì MN song song với PQ và MP song song với NQ, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

### b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?

Để tứ giác MNPQ là hình vuông, nó cần thỏa mãn hai điều kiện:
1. MNPQ là hình chữ nhật (các góc đều là góc vuông).
2. MNPQ có các cạnh bằng nhau.

Điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật là các đường chéo của tứ giác ABCD phải vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là AC vuông góc với BD.

Điều kiện để MNPQ có các cạnh bằng nhau là các đường chéo của tứ giác ABCD phải bằng nhau. Điều này có nghĩa là AC = BD.

Vậy, để tứ giác MNPQ là hình vuông, tứ giác ABCD phải là hình thoi. Điều này có nghĩa là:
1. Các đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
2. Các đường chéo của tứ giác ABCD bằng nhau.

Tóm lại, điều kiện để tứ giác MNPQ là hình vuông là tứ giác ABCD phải là hình vuông hoặc hình thoi.