Để chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \( n \) thì \( (n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n) \) chia hết cho \( 2^n \), ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý hộp bồ câu).

Xét dãy số \( n+1, n+2, \ldots, 2n \). Đây là một dãy gồm \( n \) số nguyên liên tiếp.

### Bước 1: Đếm số số chẵn trong dãy
Trong dãy này, cứ mỗi hai số liên tiếp sẽ có một số chẵn. Do đó, trong \( n \) số này sẽ có ít nhất \( \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil \) số chẵn. Tuy nhiên, vì \( n \) là số nguyên dương, nên số số chẵn trong dãy này chính xác là \( \frac{n}{2} \) nếu \( n \) chẵn và \( \frac{n+1}{2} \) nếu \( n \) lẻ. Trong cả hai trường hợp, số số chẵn luôn ít nhất là \( \frac{n}{2} \).

### Bước 2: Đếm số số chia hết cho \( 2^k \)
Tiếp theo, ta cần đếm số số chia hết cho \( 2^k \) trong dãy \( n+1, n+2, \ldots, 2n \).

- Với \( k = 1 \): Số số chia hết cho \( 2 \) là \( \frac{n}{2} \).
- Với \( k = 2 \): Số số chia hết cho \( 4 \) là \( \frac{n}{4} \).
- Với \( k = 3 \): Số số chia hết cho \( 8 \) là \( \frac{n}{8} \).

Và cứ tiếp tục như vậy cho đến \( k = \log_2 n \).

### Bước 3: Tổng số mũ của 2 trong phân tích thừa số nguyên tố của tích
Tổng số mũ của 2 trong phân tích thừa số nguyên tố của tích \( (n+1)(n+2)\ldots(2n) \) sẽ là tổng số các số chia hết cho \( 2, 4, 8, \ldots \).

Cụ thể, tổng số mũ của 2 là:
\[ \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{8} \right\rfloor + \ldots \]

### Bước 4: Chứng minh tổng số mũ của 2 lớn hơn hoặc bằng \( n \)
Ta cần chứng minh rằng tổng số mũ của 2 trong phân tích thừa số nguyên tố của tích \( (n+1)(n+2)\ldots(2n) \) lớn hơn hoặc bằng \( n \).

Tổng số mũ của 2 là:
\[ \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{8} \right\rfloor + \ldots \]

Do \( \left\lfloor \frac{n}{2^k} \right\rfloor \geq \frac{n}{2^k} - 1 \), ta có:
\[ \sum_{k=1}^{\log_2 n} \left\lfloor \frac{n}{2^k} \right\rfloor \geq \sum_{k=1}^{\log_2 n} \left( \frac{n}{2^k} - 1 \right) = n \left( \sum_{k=1}^{\log_2 n} \frac{1}{2^k} \right) - \log_2 n \]

Vì \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 1 \), ta có:
\[ n \left( \sum_{k=1}^{\log_2 n} \frac{1}{2^k} \right) \approx n \]

Do đó, tổng số mũ của 2 trong phân tích thừa số nguyên tố của tích \( (n+1)(n+2)\ldots(2n) \) lớn hơn hoặc bằng \( n \).

### Kết luận
Vậy, \( (n+1)(n+2)\ldots(2n) \) chia hết cho \( 2^n \) với mọi số nguyên dương \( n \).