Chúng ta sẽ giải từng hệ phương trình một cách chi tiết.

### a) Hệ phương trình:
\[ \frac{5x}{x + 1} + \frac{y}{y - 3} = 27 \]
\[ \frac{2x}{x + 1} - \frac{3y}{y - 3} = 4 \]

Đặt \( u = \frac{x}{x + 1} \) và \( v = \frac{y}{y - 3} \), ta có:
\[ 5u + v = 27 \]
\[ 2u - 3v = 4 \]

Giải hệ phương trình này:
1. Nhân phương trình thứ hai với 5:
\[ 10u - 15v = 20 \]

2. Trừ phương trình thứ nhất:
\[ 10u - 15v - (5u + v) = 20 - 27 \]
\[ 10u - 15v - 5u - v = -7 \]
\[ 5u - 16v = -7 \]

3. Giải phương trình này với phương trình \( 5u + v = 27 \):
\[ 5u + v = 27 \]
\[ 5u - 16v = -7 \]

Nhân phương trình thứ nhất với 16:
\[ 80u + 16v = 432 \]

Cộng hai phương trình:
\[ 80u + 16v + 5u - 16v = 432 - 7 \]
\[ 85u = 425 \]
\[ u = 5 \]

Thay \( u = 5 \) vào phương trình \( 5u + v = 27 \):
\[ 5(5) + v = 27 \]
\[ 25 + v = 27 \]
\[ v = 2 \]

Vậy \( u = 5 \) và \( v = 2 \).

Quay lại với \( u = \frac{x}{x + 1} \) và \( v = \frac{y}{y - 3} \):
\[ \frac{x}{x + 1} = 5 \]
\[ x = 5(x + 1) \]
\[ x = 5x + 5 \]
\[ -4x = 5 \]
\[ x = -\frac{5}{4} \]

\[ \frac{y}{y - 3} = 2 \]
\[ y = 2(y - 3) \]
\[ y = 2y - 6 \]
\[ -y = -6 \]
\[ y = 6 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -\frac{5}{4} \) và \( y = 6 \).

### b) Hệ phương trình:
\[ \frac{3}{x + 2} - \frac{y}{y + 1} = -1 \]
\[ \frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x + 1} = -\frac{5}{3} \]

Đặt \( u = \frac{1}{x + 2} \) và \( v = \frac{1}{y + 1} \), ta có:
\[ 3u - yv = -1 \]
\[ \frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x + 1} = -\frac{5}{3} \]

Giải phương trình thứ hai:
\[ \frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x + 1} = -\frac{5}{3} \]

Đặt \( t = x + 2 \), ta có \( x = t - 2 \):
\[ \frac{t - 2}{t} + \frac{2}{t - 1} = -\frac{5}{3} \]
\[ 1 - \frac{2}{t} + \frac{2}{t - 1} = -\frac{5}{3} \]
\[ 1 + \frac{2}{t - 1} - \frac{2}{t} = -\frac{5}{3} \]

Nhân cả hai vế với \( t(t - 1) \):
\[ t(t - 1) + 2t - 2(t - 1) = -\frac{5}{3} t(t - 1) \]
\[ t^2 - t + 2t - 2 = -\frac{5}{3} t^2 + \frac{5}{3} t \]
\[ t^2 + t - 2 = -\frac{5}{3} t^2 + \frac{5}{3} t \]
\[ 3t^2 + 3t - 6 = -5t^2 + 5t \]
\[ 8t^2 - 2t - 6 = 0 \]
\[ 4t^2 - t - 3 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} \]
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8} \]
\[ t = \frac{1 \pm 7}{8} \]
\[ t = 1 \quad \text{hoặc} \quad t = -\frac{3}{4} \]

Nếu \( t = 1 \):
\[ x + 2 = 1 \]
\[ x = -1 \]

Nếu \( t = -\frac{3}{4} \):
\[ x + 2 = -\frac{3}{4} \]
\[ x = -\frac{11}{4} \]

Chúng ta cần kiểm tra lại các giá trị này trong phương trình đầu tiên để tìm giá trị của \( y \).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -1 \) hoặc \( x = -\frac{11}{4} \).