Để chứng minh rằng \(2x^2 + y^2 + 2x + y\) chia hết cho 5 khi \(x^2 - 2xy - y\) và \(xy - 2y^2 - x\) chia hết cho 5, ta sẽ phân tích các điều kiện đã cho.

Trước hết, ta có:
\[ x^2 - 2xy - y \equiv 0 \pmod{5} \]
\[ xy - 2y^2 - x \equiv 0 \pmod{5} \]

Ta sẽ xem xét các giá trị của \(x\) và \(y\) modulo 5. Có 5 giá trị có thể cho \(x\) và \(y\) là 0, 1, 2, 3, 4. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp để tìm ra quy luật.

### Trường hợp 1: \(x \equiv 0 \pmod{5}\)
- \(x^2 - 2xy - y \equiv 0 - 0 - y \equiv -y \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow y \equiv 0 \pmod{5}\)
- \(xy - 2y^2 - x \equiv 0 - 0 - 0 \equiv 0 \pmod{5}\)

Vậy \(x \equiv 0\) và \(y \equiv 0\).

### Trường hợp 2: \(x \equiv 1 \pmod{5}\)
- \(x^2 - 2xy - y \equiv 1 - 2y - y \equiv 1 - 3y \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow 1 \equiv 3y \pmod{5} \Rightarrow y \equiv 2 \pmod{5}\)
- \(xy - 2y^2 - x \equiv 2 - 8 - 1 \equiv -7 \equiv -2 \pmod{5} \Rightarrow 2 - 2 \equiv 0 \pmod{5}\)

Vậy \(x \equiv 1\) và \(y \equiv 2\).

### Trường hợp 3: \(x \equiv 2 \pmod{5}\)
- \(x^2 - 2xy - y \equiv 4 - 4y - y \equiv 4 - 5y \equiv 4 \pmod{5} \Rightarrow 4 \equiv 0 \pmod{5}\) (mâu thuẫn)

Vậy không có giá trị \(y\) nào phù hợp.

### Trường hợp 4: \(x \equiv 3 \pmod{5}\)
- \(x^2 - 2xy - y \equiv 9 - 6y - y \equiv 9 - 7y \equiv 4 - 2y \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow 4 \equiv 2y \pmod{5} \Rightarrow y \equiv 2 \pmod{5}\)
- \(xy - 2y^2 - x \equiv 6 - 8 - 3 \equiv -5 \equiv 0 \pmod{5}\)

Vậy \(x \equiv 3\) và \(y \equiv 2\).

### Trường hợp 5: \(x \equiv 4 \pmod{5}\)
- \(x^2 - 2xy - y \equiv 16 - 8y - y \equiv 16 - 9y \equiv 1 - 4y \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow 1 \equiv 4y \pmod{5} \Rightarrow y \equiv 4 \pmod{5}\)
- \(xy - 2y^2 - x \equiv 16 - 32 - 4 \equiv -20 \equiv 0 \pmod{5}\)

Vậy \(x \equiv 4\) và \(y \equiv 4\).

### Kiểm tra điều kiện \(2x^2 + y^2 + 2x + y\)
- Với \(x \equiv 0\) và \(y \equiv 0\):
\[2x^2 + y^2 + 2x + y \equiv 0 + 0 + 0 + 0 \equiv 0 \pmod{5}\]

- Với \(x \equiv 1\) và \(y \equiv 2\):
\[2x^2 + y^2 + 2x + y \equiv 2(1)^2 + (2)^2 + 2(1) + 2 \equiv 2 + 4 + 2 + 2 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{5}\]

- Với \(x \equiv 3\) và \(y \equiv 2\):
\[2x^2 + y^2 + 2x + y \equiv 2(3)^2 + (2)^2 + 2(3) + 2 \equiv 2(9) + 4 + 6 + 2 \equiv 18 + 4 + 6 + 2 \equiv 30 \equiv 0 \pmod{5}\]

- Với \(x \equiv 4\) và \(y \equiv 4\):
\[2x^2 + y^2 + 2x + y \equiv 2(4)^2 + (4)^2 + 2(4) + 4 \equiv 2(16) + 16 + 8 + 4 \equiv 32 + 16 + 8 + 4 \equiv 60 \equiv 0 \pmod{5}\]

Vậy trong tất cả các trường hợp, \(2x^2 + y^2 + 2x + y\) đều chia hết cho 5. Điều này chứng minh rằng \(2x^2 + y^2 + 2x + y\) chia hết cho 5 khi \(x^2 - 2xy - y\) và \(xy - 2y^2 - x\) chia hết cho 5.