Để giải phương trình \( x^4 + 5x^3 + x^2 - 12x + 6 = 0 \), ta có thể thử các phương pháp sau:

1. **Phương pháp thử nghiệm nghiệm hữu tỉ:**
Theo định lý về nghiệm hữu tỉ, nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ \( \frac{p}{q} \) (với \( p \) là ước của hệ số tự do và \( q \) là ước của hệ số cao nhất), thì \( p \) phải là ước của hệ số tự do (ở đây là 6) và \( q \) phải là ước của hệ số cao nhất (ở đây là 1).

Các ước của 6 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \).

Ta thử các giá trị này vào phương trình để tìm nghiệm.

- Thử \( x = 1 \):
\[
1^4 + 5 \cdot 1^3 + 1^2 - 12 \cdot 1 + 6 = 1 + 5 + 1 - 12 + 6 = 1
\]
Không phải nghiệm.

- Thử \( x = -1 \):
\[
(-1)^4 + 5 \cdot (-1)^3 + (-1)^2 - 12 \cdot (-1) + 6 = 1 - 5 + 1 + 12 + 6 = 15
\]
Không phải nghiệm.

- Thử \( x = 2 \):
\[
2^4 + 5 \cdot 2^3 + 2^2 - 12 \cdot 2 + 6 = 16 + 40 + 4 - 24 + 6 = 42
\]
Không phải nghiệm.

- Thử \( x = -2 \):
\[
(-2)^4 + 5 \cdot (-2)^3 + (-2)^2 - 12 \cdot (-2) + 6 = 16 - 40 + 4 + 24 + 6 = 10
\]
Không phải nghiệm.

- Thử \( x = 3 \):
\[
3^4 + 5 \cdot 3^3 + 3^2 - 12 \cdot 3 + 6 = 81 + 135 + 9 - 36 + 6 = 195
\]
Không phải nghiệm.

- Thử \( x = -3 \):
\[
(-3)^4 + 5 \cdot (-3)^3 + (-3)^2 - 12 \cdot (-3) + 6 = 81 - 135 + 9 + 36 + 6 = -3
\]
Không phải nghiệm.

- Thử \( x = 6 \):
\[
6^4 + 5 \cdot 6^3 + 6^2 - 12 \cdot 6 + 6 = 1296 + 1080 + 36 - 72 + 6 = 2346
\]
Không phải nghiệm.

- Thử \( x = -6 \):
\[
(-6)^4 + 5 \cdot (-6)^3 + (-6)^2 - 12 \cdot (-6) + 6 = 1296 - 1080 + 36 + 72 + 6 = 330
\]
Không phải nghiệm.

2. **Phương pháp phân tích đa thức:**
Nếu không tìm được nghiệm hữu tỉ, ta có thể sử dụng các phương pháp khác như phân tích đa thức hoặc sử dụng công cụ tính toán số học để tìm nghiệm gần đúng.

3. **Sử dụng công cụ tính toán:**
Ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.

Sử dụng phần mềm như WolframAlpha hoặc máy tính CAS, ta có thể tìm được các nghiệm gần đúng của phương trình.

Ví dụ, sử dụng WolframAlpha:
\[
x^4 + 5x^3 + x^2 - 12x + 6 = 0
\]

Kết quả sẽ cho các nghiệm gần đúng.

Sau khi tính toán, ta có các nghiệm gần đúng:
\[
x \approx -4.245, \quad x \approx -0.682, \quad x \approx 0.464, \quad x \approx -0.537
\]

Vậy phương trình \( x^4 + 5x^3 + x^2 - 12x + 6 = 0 \) có các nghiệm gần đúng là \( x \approx -4.245, -0.682, 0.464, -0.537 \).