Để giải quyết các bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phần một.

**a) Tứ giác ABKC là hình gì? Tại sao?**

Tứ giác ABKC là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
- Ta có \( \angle BAK = 90^\circ \) (do \( Bx \perp AB \)).
- Ta có \( \angle BCA = 90^\circ \) (do tam giác ABC vuông tại A).
- Ta có \( \angle AHK = 90^\circ \) (do AH là đường cao).

Vì \( \angle BAK = \angle BCA = \angle AHK = 90^\circ \), nên tứ giác ABKC có 3 góc vuông. Do đó, tứ giác ABKC là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh: ΔABK ∼ ΔCHA. Từ đó suy ra: AB.AC = AK.CH**

**Chứng minh:**
- Xét tam giác \( \Delta ABK \) và \( \Delta CHA \):
- \( \angle BAK = \angle HCA = 90^\circ \)
- \( \angle KAB = \angle HAC \) (cùng phụ với \( \angle BAC \))

Do đó, \( \Delta ABK \sim \Delta CHA \) (góc-góc).

**Hệ quả:**
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AB}{CH} = \frac{AK}{CA}
\]
Suy ra:
\[
AB \cdot CA = AK \cdot CH
\]

**c) Chứng minh: \( AH^2 = HB \cdot HC \)**

**Chứng minh:**
- Xét tam giác vuông \( \Delta ABC \) với đường cao \( AH \):
- Ta có \( \Delta ABH \sim \Delta CHA \) (góc-góc).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AH}{HB} = \frac{AC}{AH} \implies AH^2 = HB \cdot AC
\]
- Tương tự, ta có \( \Delta AHC \sim \Delta BHA \) (góc-góc).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AH}{HC} = \frac{AB}{AH} \implies AH^2 = HC \cdot AB
\]

Kết hợp hai kết quả trên, ta có:
\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]

**d) Giả sử \( BH = 9 \) cm, \( HC = 16 \) cm. Tính \( AB \), \( AH \).**

**Giải:**
- Từ phần c, ta có:
\[
AH^2 = HB \cdot HC = 9 \cdot 16 = 144
\]
Suy ra:
\[
AH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( \Delta BHC \):
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2 = 9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337
\]
Suy ra:
\[
BC = \sqrt{337}
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( \Delta ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 = 337
\]
Ta có:
\[
AB \cdot AC = AH^2 = 144
\]

Giả sử \( AB = x \) và \( AC = y \), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 337 \\
x \cdot y = 144
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
- Từ \( x \cdot y = 144 \), ta có \( y = \frac{144}{x} \).
- Thay vào phương trình \( x^2 + y^2 = 337 \):
\[
x^2 + \left( \frac{144}{x} \right)^2 = 337
\]
\[
x^2 + \frac{20736}{x^2} = 337
\]
\[
x^4 - 337x^2 + 20736 = 0
\]

Đặt \( t = x^2 \), ta có phương trình bậc hai:
\[
t^2 - 337t + 20736 = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
t = \frac{337 \pm \sqrt{337^2 - 4 \cdot 20736}}{2}
\]
\[
t = \frac{337 \pm \sqrt{113569 - 82944}}{2}
\]
\[
t = \frac{337 \pm \sqrt{30625}}{2}
\]
\[
t = \frac{337 \pm 175}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:
\[
t_1 = \frac{512}{2} = 256 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{162}{2} = 81
\]

Do đó:
\[
x^2 = 256 \implies x = 16 \quad \text{và} \quad x^2 = 81 \implies x = 9
\]

Vậy:
\[
AB = 9 \text{ cm} \quad \text{và} \quad AC = 16 \text{ cm}
\]

Kết luận:
\[
AB = 9 \text{ cm}, \quad AH = 12 \text{ cm}
\]