Cho tam giác \( \Delta ABC \) cân tại \( A \) với \( AB = AC \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Đường thẳng đi qua \( B \) vuông góc với \( BA \) cắt \( AM \) tại \( I \). Chứng minh rằng \( CI \) vuông góc với \( CA \).

Để chứng minh \( CI \) vuông góc với \( CA \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:**
- Tam giác \( \Delta ABC \) cân tại \( A \) với \( AB = AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).
- Đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( BA \) là đường thẳng \( BI \) (vì \( I \) là giao điểm của đường thẳng này với \( AM \)).

2. **Tính chất của tam giác cân:**
- Trong tam giác cân \( \Delta ABC \), đường trung tuyến \( AM \) cũng là đường cao và đường phân giác. Do đó, \( AM \) vuông góc với \( BC \).

3. **Xét tam giác vuông \( \Delta ABI \):**
- Vì \( BI \) vuông góc với \( AB \), tam giác \( \Delta ABI \) là tam giác vuông tại \( B \).

4. **Chứng minh \( CI \) vuông góc với \( CA \):**
- Xét tam giác \( \Delta ACI \). Ta cần chứng minh rằng \( \angle ACI = 90^\circ \).
- Do \( AM \) là đường trung tuyến và cũng là đường cao của tam giác cân \( \Delta ABC \), \( AM \) vuông góc với \( BC \).
- \( I \) nằm trên đường thẳng \( AM \), do đó \( I \) cũng nằm trên đường cao của tam giác cân \( \Delta ABC \).
- Vì \( BI \) vuông góc với \( AB \), \( \angle ABI = 90^\circ \).
- Do đó, \( \angle ACI = 90^\circ \) vì \( I \) nằm trên đường cao \( AM \) và \( BI \) vuông góc với \( AB \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( CI \) vuông góc với \( CA \).