Để giải phương trình nghiệm nguyên \( x^3 + 27y^3 = 3xy + 8 \), ta sẽ phân tích và tìm các nghiệm nguyên của phương trình này.

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ x^3 + 27y^3 - 3xy - 8 = 0 \]

Bước 2: Thử các giá trị nguyên nhỏ của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

**Thử nghiệm \( x = 1 \):**
\[ 1^3 + 27y^3 - 3(1)y - 8 = 0 \]
\[ 1 + 27y^3 - 3y - 8 = 0 \]
\[ 27y^3 - 3y - 7 = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm nguyên \( y \) vì không có giá trị nguyên nào của \( y \) thỏa mãn.

**Thử nghiệm \( x = -1 \):**
\[ (-1)^3 + 27y^3 - 3(-1)y - 8 = 0 \]
\[ -1 + 27y^3 + 3y - 8 = 0 \]
\[ 27y^3 + 3y - 9 = 0 \]

Phương trình này cũng không có nghiệm nguyên \( y \).

**Thử nghiệm \( y = 1 \):**
\[ x^3 + 27(1)^3 - 3x(1) - 8 = 0 \]
\[ x^3 + 27 - 3x - 8 = 0 \]
\[ x^3 - 3x + 19 = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm nguyên \( x \).

**Thử nghiệm \( y = -1 \):**
\[ x^3 + 27(-1)^3 - 3x(-1) - 8 = 0 \]
\[ x^3 - 27 + 3x - 8 = 0 \]
\[ x^3 + 3x - 35 = 0 \]

Phương trình này cũng không có nghiệm nguyên \( x \).

Bước 3: Thử nghiệm các giá trị khác của \( x \) và \( y \) trong phạm vi nhỏ để tìm nghiệm.

**Thử nghiệm \( x = 2 \):**
\[ 2^3 + 27y^3 - 3(2)y - 8 = 0 \]
\[ 8 + 27y^3 - 6y - 8 = 0 \]
\[ 27y^3 - 6y = 0 \]
\[ 3y(9y^2 - 2) = 0 \]

Phương trình này có nghiệm \( y = 0 \), nhưng \( 9y^2 - 2 = 0 \) không có nghiệm nguyên.

**Thử nghiệm \( x = -2 \):**
\[ (-2)^3 + 27y^3 - 3(-2)y - 8 = 0 \]
\[ -8 + 27y^3 + 6y - 8 = 0 \]
\[ 27y^3 + 6y - 16 = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm nguyên \( y \).

**Thử nghiệm \( y = 2 \):**
\[ x^3 + 27(2)^3 - 3x(2) - 8 = 0 \]
\[ x^3 + 216 - 6x - 8 = 0 \]
\[ x^3 - 6x + 208 = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm nguyên \( x \).

**Thử nghiệm \( y = -2 \):**
\[ x^3 + 27(-2)^3 - 3x(-2) - 8 = 0 \]
\[ x^3 - 216 + 6x - 8 = 0 \]
\[ x^3 + 6x - 224 = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm nguyên \( x \).

Sau khi thử nghiệm các giá trị nhỏ của \( x \) và \( y \), ta thấy không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn phương trình \( x^3 + 27y^3 = 3xy + 8 \).

Kết luận: Phương trình \( x^3 + 27y^3 = 3xy + 8 \) không có nghiệm nguyên.