Giải phương trình sau

Để giải phương trình \(\sqrt{x-3} - \sqrt{2x-7} = 2x - 8\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặt điều kiện xác định:**
\[
\begin{cases}
x - 3 \geq 0 \\
2x - 7 \geq 0
\end{cases}
\]
Giải hệ bất phương trình này:
\[
\begin{cases}
x \geq 3 \\
2x \geq 7 \implies x \geq \frac{7}{2}
\end{cases}
\]
Vậy điều kiện xác định là \(x \geq \frac{7}{2}\).

2. **Biến đổi phương trình:**
\[
\sqrt{x-3} - \sqrt{2x-7} = 2x - 8
\]
Đặt \(u = \sqrt{x-3}\) và \(v = \sqrt{2x-7}\). Khi đó, ta có:
\[
u^2 = x - 3 \quad \text{và} \quad v^2 = 2x - 7
\]
Phương trình trở thành:
\[
u - v = 2x - 8
\]
Từ \(u^2 = x - 3\), ta có:
\[
x = u^2 + 3
\]
Từ \(v^2 = 2x - 7\), ta có:
\[
x = \frac{v^2 + 7}{2}
\]
Do đó:
\[
u^2 + 3 = \frac{v^2 + 7}{2}
\]
Nhân cả hai vế với 2:
\[
2u^2 + 6 = v^2 + 7 \implies 2u^2 - v^2 = 1
\]

3. **Giải hệ phương trình:**
\[
\begin{cases}
u - v = 2x - 8 \\
2u^2 - v^2 = 1
\end{cases}
\]
Thay \(x = u^2 + 3\) vào phương trình \(u - v = 2x - 8\):
\[
u - v = 2(u^2 + 3) - 8 \implies u - v = 2u^2 - 2
\]
Do đó, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
u - v = 2u^2 - 2 \\
2u^2 - v^2 = 1
\end{cases}
\]
Từ phương trình \(u - v = 2u^2 - 2\), ta có:
\[
v = u - 2u^2 + 2
\]
Thay vào phương trình \(2u^2 - v^2 = 1\):
\[
2u^2 - (u - 2u^2 + 2)^2 = 1
\]
Giải phương trình này:
\[
2u^2 - (u^2 - 4u^2 + 4u + 4) = 1 \implies 2u^2 - (4u^2 - u^2 + 4u + 4) = 1
\]
\[
2u^2 - (3u^2 + 4u + 4) = 1 \implies 2u^2 - 3u^2 - 4u - 4 = 1
\]
\[
-u^2 - 4u - 4 = 1 \implies -u^2 - 4u - 5 = 0
\]
\[
u^2 + 4u + 5 = 0
\]
Phương trình này vô nghiệm vì \(\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0\).

Vậy phương trình \(\sqrt{x-3} - \sqrt{2x-7} = 2x - 8\) không có nghiệm.