Để giải phương trình \(\sqrt{x^2 + 3x + 11} - \sqrt{x + 2} = 2x - 2\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặt điều kiện xác định:**
\[
x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2
\]

2. **Đưa một căn thức về một vế:**
\[
\sqrt{x^2 + 3x + 11} = \sqrt{x + 2} + 2x - 2
\]

3. **Bình phương hai vế:**
\[
(\sqrt{x^2 + 3x + 11})^2 = (\sqrt{x + 2} + 2x - 2)^2
\]
\[
x^2 + 3x + 11 = (x + 2) + (2x - 2)^2 + 2\sqrt{x + 2}(2x - 2)
\]
\[
x^2 + 3x + 11 = x + 2 + 4x^2 - 8x + 4 + 4(x - 1)\sqrt{x + 2}
\]
\[
x^2 + 3x + 11 = 4x^2 - 3x + 6 + 4(x - 1)\sqrt{x + 2}
\]

4. **Đưa các hạng tử không chứa căn về một vế:**
\[
x^2 + 3x + 11 - 4x^2 + 3x - 6 = 4(x - 1)\sqrt{x + 2}
\]
\[
-3x^2 + 6x + 5 = 4(x - 1)\sqrt{x + 2}
\]

5. **Chia hai vế cho 4:**
\[
\frac{-3x^2 + 6x + 5}{4} = (x - 1)\sqrt{x + 2}
\]

6. **Bình phương hai vế lần nữa:**
\[
\left(\frac{-3x^2 + 6x + 5}{4}\right)^2 = (x - 1)^2(x + 2)
\]
\[
\frac{(-3x^2 + 6x + 5)^2}{16} = (x^2 - 2x + 1)(x + 2)
\]
\[
\frac{9x^4 - 36x^3 + 66x^2 - 60x + 25}{16} = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2
\]
\[
\frac{9x^4 - 36x^3 + 66x^2 - 60x + 25}{16} = x^3 + x^2 - 3x + 2
\]

7. **Nhân hai vế với 16 để loại mẫu:**
\[
9x^4 - 36x^3 + 66x^2 - 60x + 25 = 16x^3 + 16x^2 - 48x + 32
\]

8. **Đưa tất cả các hạng tử về một vế:**
\[
9x^4 - 36x^3 + 66x^2 - 60x + 25 - 16x^3 - 16x^2 + 48x - 32 = 0
\]
\[
9x^4 - 52x^3 + 50x^2 - 12x - 7 = 0
\]

9. **Giải phương trình bậc 4 này bằng cách thử các giá trị của \(x\) hoặc sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc 4.**

Do phương trình này khá phức tạp, chúng ta có thể thử nghiệm các giá trị của \(x\) để tìm nghiệm.

Thử \(x = 1\):
\[
9(1)^4 - 52(1)^3 + 50(1)^2 - 12(1) - 7 = 9 - 52 + 50 - 12 - 7 = -12 \neq 0
\]

Thử \(x = 2\):
\[
9(2)^4 - 52(2)^3 + 50(2)^2 - 12(2) - 7 = 144 - 416 + 200 - 24 - 7 = -103 \neq 0
\]

Thử \(x = 0\):
\[
9(0)^4 - 52(0)^3 + 50(0)^2 - 12(0) - 7 = -7 \neq 0
\]

Thử \(x = -1\):
\[
9(-1)^4 - 52(-1)^3 + 50(-1)^2 - 12(-1) - 7 = 9 + 52 + 50 + 12 - 7 = 116 \neq 0
\]

Thử \(x = -2\):
\[
9(-2)^4 - 52(-2)^3 + 50(-2)^2 - 12(-2) - 7 = 144 + 416 + 200 + 24 - 7 = 777 \neq 0
\]

Do phương trình này khá phức tạp, chúng ta có thể sử dụng các công cụ tính toán hoặc phần mềm để tìm nghiệm chính xác hơn. Tuy nhiên, từ các bước trên, ta thấy rằng việc giải phương trình này bằng tay là rất khó khăn.