Để phân tích các đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức quen thuộc như:

1. \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
2. \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
3. \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
4. \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các hằng đẳng thức này để phân tích các đa thức đã cho:

a. \(25a^4 - 1\)

Ta nhận thấy rằng \(25a^4\) là \( (5a^2)^2 \) và \(1\) là \(1^2\). Do đó, ta có thể viết lại đa thức này dưới dạng hiệu của hai bình phương:

\[25a^4 - 1 = (5a^2)^2 - 1^2\]

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), ta có:

\[25a^4 - 1 = (5a^2 - 1)(5a^2 + 1)\]

b. \(9x^2 + 12xy + 4y^2\)

Ta nhận thấy rằng \(9x^2\) là \((3x)^2\), \(4y^2\) là \((2y)^2\), và \(12xy\) là \(2 \cdot 3x \cdot 2y\). Do đó, ta có thể viết lại đa thức này dưới dạng bình phương của một tổng:

\[9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x + 2y)^2\]

c. \(8x^3 + y^3\)

Ta nhận thấy rằng \(8x^3\) là \((2x)^3\) và \(y^3\) là \(y^3\). Do đó, ta có thể viết lại đa thức này dưới dạng tổng của hai lập phương:

\[8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3\]

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\), với \(a = 2x\) và \(b = y\), ta có:

\[8x^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)y + y^2)\]
\[= (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)\]

Vậy, các đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử như sau:

a. \(25a^4 - 1 = (5a^2 - 1)(5a^2 + 1)\)

b. \(9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x + 2y)^2\)

c. \(8x^3 + y^3 = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)\)