Để khảo sát và vẽ đồ thị của hai hàm số \( y = x^3 + x^2 + 2x + 1 \) và \( y = -x^3 + 3x^2 + 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Khảo sát hàm số \( y = x^3 + x^2 + 2x + 1 \)

#### a. Tìm đạo hàm và đạo hàm bậc hai
- Đạo hàm bậc nhất:
\[
y' = 3x^2 + 2x + 2
\]

- Đạo hàm bậc hai:
\[
y'' = 6x + 2
\]

#### b. Tìm các điểm cực trị
- Giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
3x^2 + 2x + 2 = 0
\]
Phương trình này không có nghiệm thực vì \(\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4 - 24 = -20 < 0\).

Do đó, hàm số không có cực trị.

#### c. Xét tính đơn điệu
- Vì \( y' = 3x^2 + 2x + 2 \) luôn dương (\( 3x^2 + 2x + 2 > 0 \) với mọi \( x \)), hàm số luôn đồng biến trên toàn bộ miền xác định.

#### d. Tìm giới hạn tại vô cực
- Khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \) hoặc \( y \to -\infty \) tương ứng.

#### e. Bảng biến thiên
- Hàm số luôn đồng biến trên \((-\infty, +\infty)\).

### 2. Khảo sát hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 2 \)

#### a. Tìm đạo hàm và đạo hàm bậc hai
- Đạo hàm bậc nhất:
\[
y' = -3x^2 + 6x
\]

- Đạo hàm bậc hai:
\[
y'' = -6x + 6
\]

#### b. Tìm các điểm cực trị
- Giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
-3x^2 + 6x = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
\]

- Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:
\[
y(0) = 2, \quad y(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6
\]

- Xét dấu của \( y' \) để xác định loại cực trị:
- Với \( x < 0 \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến).
- Với \( 0 < x < 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến).
- Với \( x > 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến).

Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại và \( x = 2 \) là điểm cực tiểu.

#### c. Xét tính đơn điệu
- Hàm số đồng biến trên \((-\infty, 0)\) và nghịch biến trên \((0, +\infty)\).

#### d. Tìm giới hạn tại vô cực
- Khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \).

#### e. Bảng biến thiên
- Hàm số đồng biến trên \((-\infty, 0)\) và nghịch biến trên \((0, +\infty)\).

### 3. Vẽ đồ thị
- Đồ thị của \( y = x^3 + x^2 + 2x + 1 \) là một đường cong luôn đồng biến.
- Đồ thị của \( y = -x^3 + 3x^2 + 2 \) có điểm cực đại tại \( x = 0 \) và điểm cực tiểu tại \( x = 2 \).

Sử dụng phần mềm đồ thị hoặc vẽ tay để biểu diễn các đặc điểm này trên hệ trục tọa độ.