Để chứng minh rằng tổng \( MD + ME + MF \) không đổi khi điểm \( M \) thay đổi trong tam giác đều \( ABC \), ta sử dụng một số tính chất đặc biệt của tam giác đều và hình học phẳng.

1. **Định nghĩa và ký hiệu**:
- Tam giác \( ABC \) đều với cạnh \( a \).
- \( M \) là điểm bất kỳ trong tam giác.
- \( D, E, F \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên các cạnh \( BC, CA, AB \).

2. **Tính chất của tam giác đều**:
- Trong tam giác đều, các đường cao, trung tuyến và phân giác đều trùng nhau và có độ dài bằng nhau.
- Gọi \( h \) là độ dài đường cao của tam giác đều \( ABC \). Ta có \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

3. **Tổng các khoảng cách từ một điểm đến các cạnh của tam giác**:
- Một tính chất quan trọng trong hình học phẳng là tổng các khoảng cách từ một điểm \( M \) bất kỳ bên trong tam giác đến ba cạnh của tam giác bằng với chiều cao của tam giác đó.

4. **Chứng minh**:
- Gọi \( h_A, h_B, h_C \) lần lượt là các khoảng cách từ điểm \( M \) đến các cạnh \( BC, CA, AB \). Theo định nghĩa, ta có:
\[
h_A = MD, \quad h_B = ME, \quad h_C = MF
\]
- Theo tính chất đã nêu, tổng các khoảng cách từ điểm \( M \) đến các cạnh của tam giác đều \( ABC \) là:
\[
h_A + h_B + h_C = h
\]
- Do đó, ta có:
\[
MD + ME + MF = h
\]
- Vì \( h \) là chiều cao của tam giác đều \( ABC \) và không thay đổi khi \( M \) thay đổi vị trí trong tam giác, nên tổng \( MD + ME + MF \) luôn bằng \( h \).

5. **Kết luận**:
- Tổng \( MD + ME + MF \) không đổi và bằng chiều cao của tam giác đều \( ABC \), tức là \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tổng \( MD + ME + MF \) không đổi khi điểm \( M \) thay đổi trong tam giác đều \( ABC \).