Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle B - \angle C = 90^\circ\). Đường phân giác \(AD\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Ta cần tính số đo góc \(\angle ADB\).

Trước hết, ta biết rằng trong tam giác \(ABC\), tổng ba góc bằng \(180^\circ\). Do đó:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]

Gọi \(\angle B = x\) và \(\angle C = y\). Theo giả thiết, ta có:
\[
x - y = 90^\circ
\]

Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ\), ta có:
\[
\angle A + x + y = 180^\circ
\]

Từ đó, ta có thể suy ra:
\[
\angle A = 180^\circ - x - y
\]

Sử dụng điều kiện \(x - y = 90^\circ\), ta có thể thay \(y\) bằng \(x - 90^\circ\):
\[
\angle A = 180^\circ - x - (x - 90^\circ) = 180^\circ - 2x + 90^\circ = 270^\circ - 2x
\]

Đường phân giác \(AD\) chia góc \(\angle A\) thành hai góc bằng nhau, do đó:
\[
\angle BAD = \angle CAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{270^\circ - 2x}{2} = 135^\circ - x
\]

Bây giờ, ta cần tính góc \(\angle ADB\). Ta biết rằng:
\[
\angle ADB = \angle ABD + \angle BAD
\]

Trong tam giác \(ABD\), vì \(AD\) là đường phân giác nên:
\[
\angle ABD = \angle ADB
\]

Do đó, ta có:
\[
\angle ADB = \angle ABD + \angle BAD = \angle ADB + (135^\circ - x)
\]

Từ đó, ta có:
\[
\angle ADB = 135^\circ - x
\]

Vì \(\angle B = x\), ta có:
\[
\angle ADB = 135^\circ - \angle B
\]

Vậy số đo góc \(\angle ADB\) là \(135^\circ - \angle B\).