Cho phương trình:

Để phương trình \((m+2)x - my = -1\) luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \(m\), ta cần xem xét điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất.

Phương trình này có dạng tổng quát của một phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ:
\[ ax + by = c \]

Trong đó:
\[ a = m + 2 \]
\[ b = -m \]
\[ c = -1 \]

Để phương trình này luôn có nghiệm duy nhất, hệ số của \(x\) và \(y\) không được đồng thời bằng 0. Nói cách khác, \(a\) và \(b\) không được đồng thời bằng 0.

Xét điều kiện:
\[ m + 2 \neq 0 \quad \text{hoặc} \quad -m \neq 0 \]

Điều này tương đương với:
\[ m + 2 \neq 0 \quad \text{hoặc} \quad m \neq 0 \]

Giải phương trình:
\[ m + 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq -2 \]

Như vậy, phương trình \((m+2)x - my = -1\) sẽ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \(m\) ngoại trừ \(m = -2\).

Kết luận: Phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m \neq -2\).