Cho bất phương trình: \((m^2 - 2m) x + 1 < m\)

Ta sẽ giải bất phương trình này cho từng giá trị của \(m\):

### a) \(m = 1\)

Thay \(m = 1\) vào bất phương trình:
\[
(1^2 - 2 \cdot 1) x + 1 < 1
\]
\[
(1 - 2) x + 1 < 1
\]
\[
- x + 1 < 1
\]
\[
- x < 0
\]
\[
x > 0
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình khi \(m = 1\) là \(x > 0\).

### b) \(m = 2\)

Thay \(m = 2\) vào bất phương trình:
\[
(2^2 - 2 \cdot 2) x + 1 < 2
\]
\[
(4 - 4) x + 1 < 2
\]
\[
0 \cdot x + 1 < 2
\]
\[
1 < 2
\]

Điều này luôn đúng với mọi \(x\).

Vậy nghiệm của bất phương trình khi \(m = 2\) là \(x \in \mathbb{R}\) (mọi giá trị của \(x\)).

### c) \(m = 3\)

Thay \(m = 3\) vào bất phương trình:
\[
(3^2 - 2 \cdot 3) x + 1 < 3
\]
\[
(9 - 6) x + 1 < 3
\]
\[
3x + 1 < 3
\]
\[
3x < 2
\]
\[
x < \frac{2}{3}
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình khi \(m = 3\) là \(x < \frac{2}{3}\).

### d) \(m = 4\)

Thay \(m = 4\) vào bất phương trình:
\[
(4^2 - 2 \cdot 4) x + 1 < 4
\]
\[
(16 - 8) x + 1 < 4
\]
\[
8x + 1 < 4
\]
\[
8x < 3
\]
\[
x < \frac{3}{8}
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình khi \(m = 4\) là \(x < \frac{3}{8}\).

Tóm lại, nghiệm của bất phương trình trong từng trường hợp là:
a) \(x > 0\)
b) \(x \in \mathbb{R}\)
c) \(x < \frac{2}{3}\)
d) \(x < \frac{3}{8}\)