Để giải phương trình này, ta cần thực hiện các bước sau:

Phương trình ban đầu:
\[ \frac{3x - 5}{x + 1} + \frac{2}{x} = 3 \]

Bước 1: Tìm mẫu số chung của các phân số.
Mẫu số chung của \(x + 1\) và \(x\) là \(x(x + 1)\).

Bước 2: Quy đồng mẫu số và viết lại phương trình:
\[ \frac{(3x - 5)x}{x(x + 1)} + \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} = 3 \]

Bước 3: Kết hợp các phân số lại:
\[ \frac{(3x^2 - 5x) + 2(x + 1)}{x(x + 1)} = 3 \]

Bước 4: Mở rộng và kết hợp các tử số:
\[ \frac{3x^2 - 5x + 2x + 2}{x(x + 1)} = 3 \]
\[ \frac{3x^2 - 3x + 2}{x(x + 1)} = 3 \]

Bước 5: Nhân cả hai vế với \(x(x + 1)\) để loại bỏ mẫu số:
\[ 3x^2 - 3x + 2 = 3x(x + 1) \]

Bước 6: Mở rộng và đơn giản hóa phương trình:
\[ 3x^2 - 3x + 2 = 3x^2 + 3x \]

Bước 7: Chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:
\[ 3x^2 - 3x + 2 - 3x^2 - 3x = 0 \]
\[ -6x + 2 = 0 \]

Bước 8: Giải phương trình đơn giản:
\[ -6x = -2 \]
\[ x = \frac{-2}{-6} \]
\[ x = \frac{1}{3} \]

Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[ x = \frac{1}{3} \]