Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của tổng bình phương các khoảng cách từ điểm P đến các đỉnh của tam giác ABC

Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết.

### Bài toán 1:
Cho phương trình bậc 2 một biến với các hệ số thực: \( z = 0 \) có 2 nghiệm ảo \( z_1 \) và \( z_2 \). Giả sử rằng các điểm tương ứng của \( z_1 \), \( z_2 \) trong mặt phẳng phức là \( Z_1 \) và \( Z_2 \). Tìm chiều dài của trục lớn của elip với \( Z_1 \), \( Z_2 \) là tiêu điểm và đi qua gốc tọa độ.

Giả sử phương trình bậc 2 là:
\[ z^2 + bz + c = 0 \]

Vì \( z_1 \) và \( z_2 \) là nghiệm ảo, nên \( b \) và \( c \) là các số thực và \( z_1, z_2 \) là các số phức liên hợp. Giả sử \( z_1 = x + yi \) và \( z_2 = x - yi \).

Các điểm tương ứng trên mặt phẳng phức là \( Z_1 = (x, y) \) và \( Z_2 = (x, -y) \).

Khoảng cách giữa hai tiêu điểm \( Z_1 \) và \( Z_2 \) là:
\[ 2c = 2|y| \]

Elip đi qua gốc tọa độ, nên:
\[ \sqrt{a^2 - c^2} = 0 \implies a = c \]

Chiều dài trục lớn của elip là:
\[ 2a = 2c = 2|y| \]

### Bài toán 2:
Tìm phương trình quỹ đạo đỉnh trái của elip đi qua điểm cố định \( M(1,2) \), lấy trục \( y \) làm đường chuẩn và độ lệch tâm là \( \frac{1}{2} \).

Độ lệch tâm \( e = \frac{1}{2} \).

Phương trình chuẩn của elip với trục \( y \) làm đường chuẩn là:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Với \( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \), ta có:
\[ c = \frac{a}{2} \]

Điểm \( M(1,2) \) nằm trên elip, nên:
\[ \frac{1^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \]

Vì \( b^2 = a^2 - c^2 \):
\[ b^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \]

Thay vào phương trình:
\[ \frac{1}{a^2} + \frac{4}{\frac{3a^2}{4}} = 1 \]
\[ \frac{1}{a^2} + \frac{16}{3a^2} = 1 \]
\[ \frac{19}{3a^2} = 1 \]
\[ a^2 = \frac{19}{3} \]
\[ a = \sqrt{\frac{19}{3}} \]

Vậy phương trình quỹ đạo của đỉnh trái của elip là:
\[ \frac{x^2}{\frac{19}{3}} + \frac{y^2}{\frac{19}{4}} = 1 \]

### Bài toán 6:
Trong tam giác \( ABC \), cạnh đối diện với các góc \( A, B, C \) lần lượt là \( a, b, c \); trong đó \( c = 10 \). \( M \) là điểm chuyển động trên đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \). Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của tổng bình phương các khoảng cách từ điểm \( P \) đến các đỉnh của tam giác \( ABC \).

Giả sử \( P \) là điểm chuyển động trên đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \). Tổng bình phương các khoảng cách từ \( P \) đến các đỉnh của tam giác \( ABC \) là:
\[ PA^2 + PB^2 + PC^2 \]

Theo định lý Steiner, tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm đến các đỉnh của tam giác là:
\[ PA^2 + PB^2 + PC^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} + 3d^2 \]

Trong đó \( d \) là khoảng cách từ \( P \) đến trọng tâm của tam giác \( ABC \). Vì \( P \) nằm trên đường tròn nội tiếp, khoảng cách từ \( P \) đến trọng tâm là không đổi.

Do đó, tổng bình phương các khoảng cách từ \( P \) đến các đỉnh của tam giác là:
\[ PA^2 + PB^2 + PC^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} + 3d^2 \]

Giá trị cực đại và cực tiểu của tổng này phụ thuộc vào giá trị của \( a \) và \( b \). Tuy nhiên, vì \( c = 10 \) là cố định, ta cần tìm giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho tổng \( a^2 + b^2 + c^2 \) là lớn nhất và nhỏ nhất.

Giả sử \( a \) và \( b \) là các cạnh của tam giác, ta có:
\[ a + b > 10 \]
\[ a^2 + b^2 + 100 \]

Giá trị cực đại của \( a^2 + b^2 \) xảy ra khi \( a \) và \( b \) lớn nhất có thể, và giá trị cực tiểu xảy ra khi \( a \) và \( b \) nhỏ nhất có thể.

Vì vậy, giá trị cực đại và cực tiểu của tổng bình phương các khoảng cách từ \( P \) đến các đỉnh của tam giác \( ABC \) là:
\[ \text{Cực đại: } \frac{a^2 + b^2 + 100}{3} + 3d^2 \]
\[ \text{Cực tiểu: } \frac{a^2 + b^2 + 100}{3} + 3d^2 \]

Tuy nhiên, để tìm giá trị chính xác, ta cần biết thêm thông tin về \( a \) và \( b \).