Cho \( x, y, z \) là các số dương đôi một khác nhau và \( x^3 + y^3 + z^3 \) chia hết cho \( x^2 y^2 z^2 \). Ta cần tìm thương của \( x^3 + y^3 + z^3 \) khi chia cho \( x^2 y^2 z^2 \).

Đầu tiên, ta xét biểu thức \( x^3 + y^3 + z^3 \). Theo công thức phân tích đa thức, ta có:
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \]

Do đó:
\[ x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + 3xyz \]

Ta cần tìm điều kiện để \( x^3 + y^3 + z^3 \) chia hết cho \( x^2 y^2 z^2 \). Xét \( x^3 + y^3 + z^3 \) dưới dạng đã phân tích:
\[ x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + 3xyz \]

Chia cả hai vế cho \( x^2 y^2 z^2 \):
\[ \frac{x^3 + y^3 + z^3}{x^2 y^2 z^2} = \frac{(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + 3xyz}{x^2 y^2 z^2} \]

Ta nhận thấy rằng \( 3xyz \) chia hết cho \( x^2 y^2 z^2 \) và phần còn lại phải là một số nguyên. Để điều này xảy ra, ta cần kiểm tra các giá trị cụ thể của \( x, y, z \).

Giả sử \( x = 1, y = 2, z = 3 \):
\[ x^3 + y^3 + z^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 \]
\[ x^2 y^2 z^2 = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 = 1 \cdot 4 \cdot 9 = 36 \]

Do đó:
\[ \frac{x^3 + y^3 + z^3}{x^2 y^2 z^2} = \frac{36}{36} = 1 \]

Vậy thương của \( x^3 + y^3 + z^3 \) khi chia cho \( x^2 y^2 z^2 \) là \( 1 \).