Để chứng minh tam giác ABD là tam giác cân, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và đường phân giác.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, và tia phân giác của góc HAC cắt BC tại D. Ta cần chứng minh tam giác ABD là tam giác cân.

1. **Tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông:**

Đường phân giác của góc HAC trong tam giác vuông ABC sẽ chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn tỉ lệ với các cạnh kề của góc HAC. Cụ thể, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Tính chất của đường cao trong tam giác vuông:**

Đường cao AH trong tam giác vuông ABC chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, đó là tam giác AHB và tam giác AHC. Cả hai tam giác này đều đồng dạng với tam giác ABC và với nhau (theo tiêu chuẩn AA - góc-góc).

3. **Xét tam giác ABD:**

- Ta có góc \( \angle BAD \) là góc phân giác của góc \( \angle BAC \).
- Do đó, góc \( \angle BAD = \angle CAD \).

4. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường phân giác:**

- Vì \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \), và tam giác ABC vuông tại A, ta có \( AB \) và \( AC \) là các cạnh kề của góc vuông.
- Do đó, \( BD \) và \( DC \) tỉ lệ với các cạnh kề của góc vuông, tức là \( BD \) và \( DC \) chia cạnh BC theo tỉ lệ của các cạnh kề của góc vuông.

5. **Chứng minh tam giác ABD cân:**

- Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
- Ta có \( \angle BAD = \angle CAD \) (do D nằm trên phân giác của góc HAC).
- Ta cũng có \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \).

- Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD có hai góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ, nên chúng đồng dạng với nhau.

- Vì tam giác ABD và tam giác ACD đồng dạng và có một cạnh chung là AD, ta suy ra rằng tam giác ABD là tam giác cân tại A (vì góc \( \angle BAD = \angle CAD \)).

Vậy, tam giác ABD là tam giác cân.