Để chứng minh rằng \(\angle ADC - \angle ADB = \angle BAC\) trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(B\) với đường phân giác \(AD\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và đường phân giác.

1. **Tính chất của tam giác vuông:**
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(\angle ABC = 90^\circ\).
- Do đó, \(\angle BAC + \angle ACB = 90^\circ\).

2. **Tính chất của đường phân giác:**
- Đường phân giác \(AD\) chia góc \(\angle BAC\) thành hai góc bằng nhau, tức là \(\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC\).

3. **Xét các góc trong tam giác:**
- Trong tam giác \(ABD\), ta có \(\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD\).
- Trong tam giác \(ADC\), ta có \(\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD\).

4. **Sử dụng tính chất của đường phân giác:**
- Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\angle BAC\), ta có \(\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC\).

5. **Tính các góc \(\angle ADB\) và \(\angle ADC\):**
- Trong tam giác \(ABD\), ta có:
\[
\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC - \angle ABD
\]
- Trong tam giác \(ADC\), ta có:
\[
\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC - \angle ACD
\]

6. **Tính hiệu số \(\angle ADC - \angle ADB\):**
- Ta có:
\[
\angle ADC - \angle ADB = (180^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC - \angle ACD) - (180^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC - \angle ABD)
\]
- Rút gọn biểu thức trên, ta được:
\[
\angle ADC - \angle ADB = -\angle ACD + \angle ABD
\]

7. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\[
\angle ACD = \angle ABD = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC
\]
- Do đó:
\[
\angle ADC - \angle ADB = (90^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC) - (90^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC) = \angle BAC
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\angle ADC - \angle ADB = \angle BAC\).